برآوردگر نااریب و کران کرامر-رائو
در میان برآوردگرهایی که به طور میانگین صحیح هستند، نامساوی کرامر-رائو کف واریانس را تعیین میکند و قضایای رائو-بلکول و لمن-شفه نشان میدهند که چگونه میتوان به آن دست یافت.
Definition
یک برآوردگر نااریب است اگر امید ریاضی آن برای هر مقدار پارامتر برابر با پارامتر باشد؛ کران کرامر-رائو بیان میکند که واریانس هر برآوردگر نااریب حداقل برابر با معکوس اطلاعات فیشر است.
Scope
این موضوع به نااریبی و محدودیتهای آن، اطلاعات فیشر برای یک و چند پارامتر، کران پایین کرامر-رائو برای واریانس یک برآوردگر نااریب، شرایط دستیابی به این کران، قضیه رائو-بلکول در مورد بهبود یک برآوردگر با شرطیسازی بر یک آماره بسنده، و قضیه لمن-شفه که برآوردگر نااریب با حداقل واریانس منحصر به فرد را از طریق آمارههای بسنده کامل شناسایی میکند، میپردازد.
Core questions
- اطلاعات فیشر چیست و چگونه دقت موجود در دادهها را کمیسازی میکند؟
- چرا هیچ برآوردگر نااریبی نمیتواند واریانسی کمتر از کران کرامر-رائو داشته باشد و چه زمانی این کران به دست میآید؟
- چگونه شرطیسازی بر یک آماره بسنده، از طریق رائو-بلکول، واریانس را کاهش میدهد؟
- چگونه کامل بودن و بسندگی با هم، از طریق لمن-شفه، بهترین برآوردگر نااریب را مشخص میکنند؟
Key theories
- نامساوی اطلاعات کرامر-رائو
- تحت شرایط منظم، واریانس یک برآوردگر نااریب از پایین توسط معکوس اطلاعات فیشر محدود میشود و کارایی به عنوان دستیابی به این کران تعریف میشود.
- قضایای رائو-بلکول و لمن-شفه
- شرطیسازی هر برآوردگر نااریب بر یک آماره بسنده هرگز واریانس آن را افزایش نمیدهد؛ اگر آن آماره کامل نیز باشد، نتیجه برآوردگر نااریب با حداقل واریانس منحصر به فرد خواهد بود.
Clinical relevance
کران کرامر-رائو و اطلاعات فیشر حد دقت اساسی یک آزمایش را تعیین میکنند و طراحی بهینه آزمایش و کالیبراسیون حسگر را هدایت میکنند، در حالی که برآوردگرهای نااریب با حداقل واریانس، برآوردهای معیار را ارائه میدهند که رویههای عملی با آنها مقایسه میشوند.
History
کرامر و رائو به طور مستقل کران واریانس را حدود سال 1945 تعیین کردند. نتایج بهبود از طریق شرطیسازی رائو و بلکول و قضیه منحصر به فرد بودن لمن و شف در اواخر دهه 1940 و اوایل دهه 1950 به دنبال آن آمدند و نظریه کلاسیک برآورد نااریب را تکمیل کردند.
Key figures
- Calyampudi Radhakrishna Rao
- Harald Cramer
- David Blackwell
- Henry Scheffe
Related topics
Seminal works
- lehmannCasella1998
Frequently asked questions
- آیا کران کرامر-رائو همیشه قابل دستیابی است؟
- خیر. این کران تنها در موارد خاص، عمدتاً خانوادههای نمایی، به دست میآید؛ به طور کلی، برآوردگر نااریب با حداقل واریانس ممکن است واریانسی به طور قابل توجهی بالاتر از این کران داشته باشد.
- اطلاعات فیشر چه چیزی را اندازهگیری میکند؟
- این اطلاعات میزان حساسیت تابع درستنمایی به تغییرات پارامتر را اندازهگیری میکند و بنابراین نشان میدهد که دادهها چقدر اطلاعات درباره آن پارامتر دارند؛ اطلاعات فیشر بیشتر امکان برآورد دقیقتر را فراهم میکند.