مدل آیزینگ و سیستمهای شبکهای
مدل آیزینگ از اسپینهای متقابل بر روی یک شبکه، مدل میکروسکوپی متعارف یک گذار فاز است که در ابعاد پایین دقیقاً قابل حل بوده و الگویی برای رفتار تعاونی محسوب میشود.
Definition
مدل آیزینگ یک مدل شبکهای است که در آن هر سایت دارای یک اسپین است که یکی از دو مقدار را میگیرد و با همسایگان خود تعامل دارد و به عنوان سادهترین مدل میکروسکوپی عمل میکند که یک گذار فاز ترمودینامیکی به حالت منظم را نشان میدهد.
Scope
این موضوع مدل آیزینگ و تعمیمهای آن بر روی یک شبکه، تقریب میدان میانگین و پیشبینیهای آن، عدم وجود گذار در یک بعد، حل دقیق اونساگر در دو بعد، روشهای ماتریس انتقال، و استفاده از این مدلها به عنوان سادهترین سیستمهای میکروسکوپی که مغناطش خودبهخودی و نقطه بحرانی را نشان میدهند، پوشش میدهد. مدلهای مرتبط مانند مدلهای پاتس و هایزنبرگ به عنوان تعمیمها ذکر شدهاند.
Core questions
- چگونه کوپلینگ نزدیکترین همسایه در مدل آیزینگ مغناطش خودبهخودی را تولید میکند؟
- چرا مدل آیزینگ یکبعدی در دمای محدود گذار ندارد؟
- حل دقیق اونساگر در دو بعد چه چیزی را درباره رفتار بحرانی آشکار میکند؟
- نظریه میدان میانگین چگونه مدل آیزینگ را تقریب میزند و در کجا شکست میخورد؟
Key concepts
- اسپینها و کوپلینگ نزدیکترین همسایه
- مغناطش خودبهخودی و نظم
- تقریب میدان میانگین
- روش ماتریس انتقال
- حل دقیق اونساگر در دو بعد
Key theories
- حل دقیق اونساگر برای مدل آیزینگ دوبعدی
- اونساگر مدل آیزینگ دوبعدی بدون میدان را دقیقاً حل کرد و یک گذار فاز واقعی با گرمای ویژه واگرا لگاریتمی را نشان داد و نماهای بحرانی را ارائه کرد که با پیشبینیهای میدان میانگین متفاوت است.
Clinical relevance
فراتر از مغناطیس، مدل آیزینگ به گازهای شبکهای، آلیاژهای دوتایی، و مسائل شبکههای عصبی و بهینهسازی نگاشت میشود، که آن را به یک بستر آزمایشی چندمنظوره برای پدیدههای تعاونی و یک معیار برای روشهای محاسباتی مانند شبیهسازی مونت کارلو تبدیل میکند.
History
این مدل که توسط لنز پیشنهاد شد و در سال ۱۹۲۵ توسط آیزینگ در یک بعد حل گردید، برای مدت طولانی بیش از حد ساده تلقی میشد تا گذار را نشان دهد، تا اینکه پییرلز خلاف آن را استدلال کرد و حل دقیق اونساگر در سال ۱۹۴۴ برای دو بعد ثابت کرد که این مدل دارای یک نقطه بحرانی واقعی است.
Key figures
- Ernst Ising
- Wilhelm Lenz
- Lars Onsager
Related topics
Seminal works
- onsager1944
- stanley1971
Frequently asked questions
- چرا مدل آیزینگ با وجود ایدهآل بودن، اینقدر مهم است؟
- سادگی آن باعث میشود که از نظر تحلیلی و محاسباتی قابل بررسی باشد، در حالی که هنوز جوهر نظم تعاونی را به تصویر میکشد، بنابراین به عنوان سیستم مرجع برای آزمایش مفاهیمی مانند جهانشمولی، نظریه میدان میانگین و گروه بازبهنجارش عمل میکند.