فضای هیلبرت و حالتهای کوانتومی
یک حالت کوانتومی، برداری در فضای هیلبرت است؛ یک فضای برداری مختلط کامل که مجهز به ضرب داخلی است. این ساختار هندسی، ساختار برهمنهی، تعامد و احتمال را فراهم میکند که مکانیک کوانتومی بر آن استوار است.
Definition
فضای هیلبرت یک فضای برداری ضرب داخلی کامل بر روی اعداد مختلط است و یک حالت کوانتومی خالص، یک بردار واحد در آن است، در حالی که حالتهای مخلوط توسط عملگرهای چگالی که مثبت، هرمیتی و دارای اثر واحد هستند، نمایش داده میشوند.
Scope
این موضوع شامل تعریف فضای هیلبرت و ضرب داخلی آن، نرمالسازی و بیاهمیت بودن فاز کلی از نظر فیزیکی، پایههای اورتونرمال و کامل بودن، تمایز بین حالتهای خالص و مخلوطهای آماری که توسط عملگر چگالی توصیف میشوند، و فضای هیلبرت مجهز (rigged Hilbert space) مورد نیاز برای جای دادن طیفهای پیوسته مانند مکان و تکانه است.
Core questions
- چه ویژگیهایی فضای هیلبرت را به خانه مناسبی برای حالتهای کوانتومی تبدیل میکند؟
- چرا یک حالت کوانتومی فقط تا نرمالسازی و فاز کلی تعریف میشود؟
- چگونه عملگر چگالی یک مخلوط آماری از حالتها را توصیف میکند؟
- چگونه حالتهای طیف پیوسته مانند حالتهای ویژه مکان از نظر ریاضی مدیریت میشوند؟
Key concepts
- ضرب داخلی
- پایه اورتونرمال
- رابطه کامل بودن
- نرمالسازی و فاز
- عملگر چگالی
- فضای هیلبرت مجهز
Key theories
- حالتهای خالص به عنوان پرتوها
- یک حالت خالص متناظر با یک زیرفضای یک بعدی، یا پرتو، از فضای هیلبرت است، بنابراین دو بردار واحد که فقط در یک عامل فاز متفاوت هستند، یک حالت فیزیکی مشابه را توصیف میکنند، در حالی که فاز نسبی آنها در یک برهمنهی از نظر فیزیکی معنیدار است.
- عملگر چگالی برای حالتهای مخلوط
- یک مجموعه آماری یا یک زیرسیستم از یک جفت درهمتنیده، نه با یک بردار واحد، بلکه با یک عملگر چگالی توصیف میشود؛ یک عملگر هرمیتی مثبت با اثر واحد که عناصر قطری آن جمعیتها را نشان میدهند و عناصر غیرقطری آن انسجامها را کدگذاری میکنند.
Clinical relevance
تصویر فضای هیلبرت، زبان کاری فناوری کوانتومی است: کیوبیتها بردارهای واحد در فضاهای دو بعدی هستند، عملگر چگالی حالتهای نویزی و تا حدی شناخته شده را در اطلاعات کوانتومی توصیف میکند، و روابط کامل بودن اساس هر محاسبه عملی از دامنهها و احتمالات است.
History
هیلبرت و دانشجویانش نظریه فضاهای ضرب داخلی بینهایت بعدی را در حدود سال ۱۹۰۰ توسعه دادند؛ فون نویمان در اواخر دهه ۱۹۲۰ تشخیص داد که این ساختار، مکانیک ماتریسی هایزنبرگ و مکانیک موج شرودینگر را یکپارچه میکند، و لاندائو و فون نویمان عملگر چگالی را برای توصیف حالتهای مخلوط معرفی کردند.
Key figures
- David Hilbert
- John von Neumann
- Paul Dirac
- Lev Landau
Related topics
Seminal works
- vonneumann1955
- shankar1994
Frequently asked questions
- تفاوت بین حالت خالص و حالت مخلوط چیست؟
- یک حالت خالص یک بردار فضای هیلبرت منفرد است که انسجام کوانتومی کامل را حمل میکند، در حالی که یک حالت مخلوط یک ترکیب احتمالی از حالتهای خالص است که توسط یک عملگر چگالی توصیف میشود و منعکسکننده عدم قطعیت کلاسیک در مورد اینکه کدام حالت آماده شده است یا درهمتنیدگی با یک سیستم مشاهده نشده است.
- چرا فاز کلی یک حالت اهمیت ندارد؟
- احتمالات اندازهگیری به مقادیر مجذور دامنهها بستگی دارد که با ضرب کل حالت در یک عامل فاز تغییر نمیکنند؛ فقط فازهای نسبی بین مؤلفههای یک برهمنهی بر تداخل تأثیر میگذارند و بنابراین فیزیکی هستند.