فضاهای هیلبرت
فضای هیلبرت یک فضای ضرب داخلی کامل است، تعمیمی بینهایتبعدی از هندسه اقلیدسی که در آن مفاهیم زاویه، تعامد، و تصویر قدرت کامل خود را حفظ میکنند.
Definition
فضای هیلبرت یک فضای برداری با یک ضرب داخلی است که در نرمی که ضرب داخلی القا میکند، کامل است؛ ضرب داخلی هندسهای از طولها و زوایا را فراهم میکند که تصویر متعامد و بسط متعامد را در دسترس قرار میدهد.
Scope
این مبحث شامل ضرب داخلی و نرم القایی آن، نامساویهای کوشی-شوارتز و متوازیالاضلاع، تعامد و مکملهای متعامد، قضیه تصویر بر مجموعههای محدب بسته، پایههای متعامد و همانی پارسوال، و قضیه نمایش ریز است که فضای هیلبرت را با دوگان آن شناسایی میکند.
Core questions
- چگونه یک ضرب داخلی به یک فضای بینهایتبعدی هندسه میبخشد؟
- چرا هر مجموعه محدب بسته یک نقطه نزدیکترین منحصر به فرد را میپذیرد، و این تصویر چه چیزی را ارائه میدهد؟
- چگونه پایههای متعامد هر بردار را به عنوان یک سری فوریه تعمیمیافته نمایش میدهند؟
- چرا یک فضای هیلبرت به طور طبیعی با دوگان خود شناسایی میشود؟
Key theories
- قضیه تصویر
- هر زیرمجموعه محدب بسته ناتهی از یک فضای هیلبرت شامل یک نقطه منحصر به فرد است که به هر بردار داده شده نزدیکتر است، و تصویر متعامد بر یک زیرفضای بسته، فضا را به زیرفضا و مکمل متعامد آن تقسیم میکند.
- قضیه نمایش ریز
- هر تابعک خطی کراندار بر یک فضای هیلبرت توسط ضرب داخلی با یک بردار منحصر به فرد داده میشود، بنابراین فضا به طور ایزومتریک با دوگان خود شناسایی میشود، که منبع بسیاری از راحتیهای تحلیلی این فضا است.
Clinical relevance
فضاهای هیلبرت فضاهای حالت مکانیک کوانتومی هستند، که در آن بسط متعامد و تصویر، اندازهگیری و برهمنهی را بیان میکنند؛ همچنین زیربنای تقریب حداقل مربعات، تحلیل فوریه و موجک، پردازش سیگنال، و فضاهای هسته بازتولیدکننده هستند که در یادگیری ماشین مدرن محوری میباشند.
History
این ساختار از مطالعه معادلات انتگرالی و فرمهای درجه دوم بینهایت توسط هیلبرت در اوایل قرن بیستم پدید آمد؛ فون نویمان تعریف اصل موضوعی انتزاعی را در دهه ۱۹۲۰ هنگام فرمولبندی مکانیک کوانتومی ارائه داد و مفهوم مدرن فضای هیلبرت را تثبیت کرد.
Key figures
- David Hilbert
- John von Neumann
- Frigyes Riesz
Related topics
Seminal works
- conway1985
- stein2005real
Frequently asked questions
- فضای هیلبرت چه تفاوتی با فضای باناخ دارد؟
- فضای هیلبرت دارای یک ضرب داخلی است که نرم آن را القا میکند و هندسه، زوایا، تعامد، و تصویر را فراهم میآورد، در حالی که یک فضای باناخ عمومی فقط یک نرم دارد؛ هر فضای هیلبرت یک فضای باناخ است اما برعکس آن صادق نیست.
- پایه متعامد چیست؟
- آن یک مجموعه حداکثری از بردارهای واحد متقابلاً عمود است به طوری که هر عنصر فضا مجموع تصاویر آن بر روی آنها است، که روشی را تعمیم میدهد که سریهای فوریه توابع را در سینوسها و کسینوسها بسط میدهند.