قضایای فشردگی و لوونهایم-اسکولم

قضایای فشردگی و لوونهایم-اسکولم دو نتیجه بنیادی هستند که ساختارهایی را که نظریه‌های مرتبه اول می‌توانند توصیف کنند، تعیین می‌کنند و هم قدرت و هم محدودیت‌های ذاتی منطق مرتبه اول را آشکار می‌سازند.

Definition

قضیه فشردگی بیان می‌کند که مجموعه‌ای از جملات مرتبه اول ارضاشدنی است اگر و تنها اگر هر زیرمجموعه متناهی آن ارضاشدنی باشد؛ قضایای لوونهایم-اسکولم بیان می‌کنند که هر نظریه مرتبه اول با یک مدل نامتناهی، مدل‌هایی در هر کاردینالیتی نامتناهی حداقل به اندازه زبان خود دارد.

Scope

این موضوع شامل قضیه فشردگی و اثبات آن از طریق تمامیت یا فراحاصل‌ها (ultraproducts)، قضایای نزولی و صعودی لوونهایم-اسکولم در مورد کاردینالیتی مدل‌ها، پیامدهای استاندارد آن‌ها از جمله وجود مدل‌های غیراستاندارد حساب و تحلیل، و پارادوکس اسکولم است.

Core questions

• چرا ارضاشدنی بودن متناهی یک نظریه، وجود یک مدل را تضمین می‌کند؟
• چگونه این قضایا مدل‌های غیراستاندارد حساب و اعداد حقیقی را تولید می‌کنند؟
• چرا هیچ نظریه مرتبه اولی نمی‌تواند یک ساختار نامتناهی را تا کاردینالیتی مشخص کند؟
• پارادوکس اسکولم چیست و چگونه حل می‌شود؟

Key theories

قضیه فشردگی

اگر هر زیرمجموعه متناهی از مجموعه‌ای از جملات یک مدل داشته باشد، آنگاه کل مجموعه یک مدل دارد؛ این از تمامیت نتیجه می‌شود یا می‌تواند به صورت معنایی با فراحاصل‌ها اثبات شود.

قضیه نزولی لوونهایم-اسکولم

هر ساختار نامتناهی دارای یک زیرساختار ابتدایی با کاردینالیتی حداکثر به اندازه زبان خود است، بنابراین نظریه‌های شمارا با مدل‌های نامتناهی، مدل‌های شمارا دارند.

قضیه صعودی لوونهایم-اسکولم

هر مدل نامتناهی می‌تواند به صورت ابتدایی به مدل‌هایی با هر کاردینالیتی بزرگتر گسترش یابد، بنابراین نظریه‌های مرتبه اول نمی‌توانند اندازه مدل‌های نامتناهی خود را ثابت کنند.

Clinical relevance

این قضایا ابزارهای اصلی نظریه مدل هستند: فشردگی برای ساخت مدل‌های غیراستاندارد که نتایج را اثبات یا منتقل می‌کنند، استفاده می‌شود، و قضایای لوونهایم-اسکولم توضیح می‌دهند که چرا اصول‌بندی‌های مرتبه اول اعداد طبیعی یا اعداد حقیقی همیشه مدل‌های ناخواسته را می‌پذیرند و انتخاب چارچوب‌های منطقی را شکل می‌دهند.

History

لوونهایم نسخه‌ای از قضیه نزولی را در سال 1915 اثبات کرد و اسکولم آن را در دهه 1920 تعمیم و دقیق‌تر کرد. فشردگی توسط گودل به عنوان نتیجه‌ای از تمامیت به دست آمد و توسط مالتسف به زبان‌های ناشمارا گسترش یافت، که او برای اولین بار از آن برای استخراج قضایای جبری استفاده کرد و راه را برای نظریه مدل کاربردی باز کرد.

Key figures

• Leopold Loewenheim
• Thoralf Skolem
• Kurt Goedel
• Anatoly Maltsev

Seminal works

• changkeisler1990
• marker2002
• hodges1993

Frequently asked questions

مدل غیراستاندارد حساب چیست؟

با استفاده از فشردگی می‌توان به اصول حساب یک ثابت بزرگتر از هر عدد اضافه کرد؛ نظریه سازگار حاصل دارای مدلی است که شامل عناصر نامتناهی فراتر از اعداد طبیعی استاندارد است. چنین مدل‌هایی دقیقاً همان جملات مرتبه اول را مانند مدل استاندارد ارضا می‌کنند.

پارادوکس اسکولم چیست؟

قضیه نزولی لوونهایم-اسکولم یک مدل شمارا از نظریه مجموعه‌ها را ارائه می‌دهد، حتی اگر آن نظریه وجود مجموعه‌های ناشمارا را اثبات کند. راه‌حل این است که ناشمارایی نسبت به مدل است: مجموعه‌ای که مدل آن را ناشمارا می‌داند، هیچ تناظری با اعداد طبیعی در داخل مدل ندارد، اگرچه چنین تناظری در خارج از مدل وجود دارد.