سری فوریه
سری فوریه یک تابع تناوبی را به صورت مجموعی از سینوسها و کسینوسها بسط میدهد، آن را به فرکانسهای بنیادیاش تجزیه میکند و این پرسش اصلی را مطرح میسازد که چه زمانی این سری تابع را بازسازی میکند.
Definition
سری فوریه نمایش یک تابع تناوبی به صورت ترکیبی بینهایت از سینوسها و کسینوسها، یا توابع نمایی مختلط است که ضرایب آن با انتگرالگیری از تابع در برابر آن نوسانات اساسی تعیین میشوند.
Scope
این مبحث شامل ضرایب فوریه یک تابع تناوبی، مجموعهای جزئی و هسته دیریکله آنها، معیارهای همگرایی نقطهای و یکنواخت، پدیده گیبس در نقاط پرش، همگرایی در میانگین و اتحاد پارسوال، روشهای جمعپذیری مانند میانگینهای سزارو و آبل با هسته فجر، و کامل بودن سیستم مثلثاتی در توابع با انتگرالپذیری مربعی است.
Core questions
- ضرایب فوریه یک تابع تناوبی چگونه محاسبه میشوند؟
- چه زمانی سری فوریه به تابع همگرا میشود و به چه معنایی؟
- چرا روشهای جمعپذیری همگرایی را در جایی که مجموعهای جزئی شکست میخورند، بازیابی میکنند؟
- چرا سیستم مثلثاتی یک پایه اورتونرمال کامل از توابع با انتگرالپذیری مربعی را تشکیل میدهد؟
Key theories
- همگرایی میانگین مربعات و اتحاد پارسوال
- سری فوریه یک تابع تناوبی با انتگرالپذیری مربعی در مفهوم میانگین مربعات به آن همگرا میشود، و مجموع ضرایب مربعی برابر با نرم مربعی تابع است که سیستم مثلثاتی را به عنوان یک پایه اورتونرمال کامل بیان میکند.
- قضیه فجر
- میانگینهای سزارو از مجموعهای جزئی سری فوریه یک تابع تناوبی پیوسته به طور یکنواخت به تابع همگرا میشوند و همگرایی را از طریق میانگینگیری بازیابی میکنند، حتی زمانی که خود مجموعهای جزئی همگرا نمیشوند.
Clinical relevance
سریهای فوریه اساس تحلیل طیفی سیگنالهای تناوبی هستند که در آکوستیک، تحلیل ارتعاشات، مهندسی برق، و حل معادلات گرما و موج با جداسازی متغیرها استفاده میشوند، جایی که تجزیه یک حالت به مُدهای فرکانسی معادلات را قابل حل میکند.
History
فوریه بسطهای مثلثاتی را در نظریه گرمای خود در سال ۱۸۲۲ معرفی کرد و عمومیت آن را ادعا نمود که دههها مورد بررسی دقیق قرار گرفت. دیریکله اولین قضیه همگرایی دقیق را در سال ۱۸۲۹ ارائه داد و نتیجه جمعپذیری فجر در سال ۱۹۰۰ همگرایی را برای توابع پیوسته روشن ساخت.
Key figures
- Joseph Fourier
- Lejeune Dirichlet
- Lipot Fejer
Related topics
Seminal works
- stein2003fourier
- katznelson2004
Frequently asked questions
- آیا سری فوریه همیشه به تابع خود همگرا میشود؟
- به طور کلی به صورت نقطهای خیر؛ توابع پیوسته میتوانند سریهای فوریهای داشته باشند که در نقاطی واگرا میشوند، اما این سری همیشه در مفهوم میانگین مربعات برای توابع با انتگرالپذیری مربعی همگرا میشود، و روشهای جمعپذیری همگرایی یکنواخت را برای توابع پیوسته بازیابی میکنند.
- پدیده گیبس چیست؟
- در نزدیکی یک ناپیوستگی پرشی، مجموعهای جزئی یک سری فوریه از تابع به نسبت ثابتی فراتر میروند که با افزودن جملات بیشتر از بین نمیرود؛ این یک اثر مصنوعی از همگرایی نقطهای در نقاط پرش است.