Teoría de Sturm-Liouville

La teoría de Sturm-Liouville analiza una clase de problemas de valores en la frontera lineales de segundo orden cuyos valores propios son reales y discretos, y cuyas funciones propias forman una base ortogonal completa.

Definition

Un problema de Sturm-Liouville busca valores de un parámetro para los cuales la ecuación menos (p y prima) prima más q y es igual a lambda w y tiene una solución no trivial que satisface las condiciones de frontera dadas; los parámetros admisibles son los valores propios y las soluciones correspondientes son las funciones propias.

Scope

Este tema abarca la forma autoadjunta de Sturm-Liouville, los problemas regulares y singulares, la realidad y el ordenamiento de los valores propios, la oscilación y el entrelazamiento de las funciones propias, la ortogonalidad con respecto a un peso, y las expansiones de funciones propias que generalizan las series de Fourier y producen los polinomios ortogonales clásicos y las funciones especiales.

Core questions

• ¿Cuáles son los valores propios y las funciones propias de un problema de valores en la frontera dado?
• ¿Por qué los valores propios son reales y las funciones propias ortogonales?
• ¿Cuántos ceros tiene la enésima función propia y cómo se distribuyen?
• ¿Cuándo se puede expandir una función arbitraria en las funciones propias?

Key theories

Teorema espectral para problemas regulares de Sturm-Liouville

Un problema regular autoadjunto de Sturm-Liouville tiene infinitos valores propios reales que aumentan hasta el infinito, con funciones propias que son ortogonales bajo el peso y forman una base completa para expansiones.

Teoremas de oscilación y comparación de Sturm

La función propia perteneciente al enésimo valor propio tiene exactamente n ceros interiores, y el teorema de comparación de Sturm relaciona los ceros de las soluciones de ecuaciones relacionadas.

Expansiones de funciones propias

Debido a que las funciones propias forman un sistema ortogonal completo, las funciones adecuadas se expanden en series de ellas, generalizando las series de Fourier y sustentando la separación de variables para ecuaciones diferenciales parciales.

Clinical relevance

Los problemas de Sturm-Liouville surgen siempre que se aplica el método de separación de variables a las ecuaciones del calor, de onda y de Schrödinger, y sus funciones propias son los modos de vibración naturales y los estados cuánticos; la teoría también genera los polinomios ortogonales clásicos utilizados en toda la matemática aplicada.

History

Sturm y Liouville desarrollaron la teoría en una serie de artículos alrededor de 1836-1837, estableciendo el comportamiento cualitativo de los valores propios y las funciones propias para problemas de valores en la frontera. Weyl la extendió a problemas singulares a principios del siglo XX, conectándola con la teoría espectral de operadores en el espacio de Hilbert.

Key figures

• Jacques Charles Francois Sturm
• Joseph Liouville
• Hermann Weyl
• David Hilbert

Seminal works

• zettl2010
• courant1953

Frequently asked questions

¿Cómo generaliza la teoría de Sturm-Liouville las series de Fourier?

Los senos y cosenos de una serie de Fourier son las funciones propias del problema de Sturm-Liouville más simple en un intervalo. Coeficientes y pesos más generales producen otras familias ortogonales completas, como las funciones de Legendre, Hermite y Bessel, con sus propias expansiones.

¿Por qué se garantiza que los valores propios son reales?

Cuando se escribe en forma autoadjunta con condiciones de frontera apropiadas, el operador de Sturm-Liouville es simétrico con respecto al producto interno ponderado. Los operadores simétricos tienen valores propios reales y funciones propias ortogonales, al igual que las matrices simétricas.