Grupo de Galois

El grupo de Galois de una extensión de cuerpo es el grupo de automorfismos de cuerpo que fijan el cuerpo base, codificando las simetrías de las raíces de un polinomio e indexando los cuerpos intermedios.

Definition

Para una extensión de cuerpo, el grupo de Galois es el grupo de automorfismos del cuerpo más grande que fijan cada elemento del cuerpo base; la extensión se denomina Galois cuando este grupo es tan grande como el grado, lo que ocurre exactamente para extensiones finitas normales y separables.

Scope

Este tema abarca los automorfismos de las extensiones de cuerpo, la definición del grupo de Galois, las extensiones normales y separables, el teorema fundamental de la teoría de Galois y el cálculo de los grupos de Galois de polinomios y su interpretación como grupos de permutación de raíces.

Core questions

• ¿Qué simetrías posee una extensión de cuerpo?
• ¿Cuándo es una extensión de Galois y cuán grande es su grupo de automorfismos?
• ¿Cómo se corresponde el grupo de Galois con los cuerpos intermedios?
• ¿Cómo se realiza el grupo de Galois de un polinomio como un grupo de permutación de sus raíces?

Key theories

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Para una extensión de Galois finita, existe una biyección que invierte la inclusión entre los cuerpos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, bajo la cual el grado de una subextensión es igual al índice del subgrupo correspondiente.

Grupo de Galois como permutaciones de raíces

El grupo de Galois de un polinomio separable actúa fielmente sobre sus raíces, incrustándolo como un subgrupo del grupo simétrico de esas raíces, lo que restringe y ayuda a calcular el grupo.

Teorema de Artin sobre cuerpos fijos

Si un grupo finito de automorfismos actúa sobre un cuerpo, todo el cuerpo es una extensión de Galois del subcuerpo fijo con ese grupo como su grupo de Galois, lo que proporciona una recíproca a la construcción de los grupos de Galois.

Clinical relevance

El grupo de Galois convierte las preguntas sobre extensiones de cuerpo y ecuaciones polinómicas en teoría de grupos; su solubilidad decide la solubilidad por radicales, y el problema inverso de Galois y las representaciones de Galois lo hacen central para la teoría de números moderna y la geometría aritmética.

History

Galois asociaba a cada ecuación un grupo de permutaciones de sus raíces en la década de 1830, el grupo de Galois original. Dedekind y Artin lo reformularon en términos de automorfismos de cuerpos, y la formulación de Artin en términos de cuerpos fijos dio a la teoría su forma conceptual moderna.

Key figures

• Évariste Galois
• Emil Artin
• Richard Dedekind
• Leopold Kronecker

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• artin2011

Frequently asked questions

¿Cuándo es una extensión de cuerpo de Galois?

Una extensión finita es de Galois cuando es normal (contiene todos los conjugados de cada uno de sus elementos) y separable (los polinomios mínimos tienen raíces distintas). Equivalentemente, el grupo de automorfismos que fija la base tiene un orden igual al grado.

¿Por qué ver el grupo de Galois como permutador de raíces?

Un automorfismo que fija el cuerpo base debe enviar las raíces de un polinomio a otras raíces, por lo que el grupo actúa sobre el conjunto finito de raíces. Esto realiza el grupo de Galois dentro de un grupo simétrico, haciéndolo computable y conectándolo con la teoría de grupos de permutación.