Homomorfismo de Anillos

Un homomorfismo de anillos es un mapeo que preserva la estructura entre anillos, el morfismo de la teoría de anillos cuyo núcleo es un ideal y cuya imagen es un subanillo, regido por los teoremas de isomorfismo.

Definition

Un homomorfismo de anillos es una función entre anillos que preserva la adición, la multiplicación y (por convención) la identidad multiplicativa, de modo que se respetan las operaciones algebraicas.

Scope

Este tema abarca la definición de homomorfismos e isomorfismos de anillos, núcleos e imágenes, los cuatro teoremas de isomorfismo para anillos, la característica y el subanillo primo, y las propiedades universales de los anillos cociente y los mapeos de evaluación.

Core questions

• ¿Qué significa que un mapeo preserve la estructura de un anillo?
• ¿Cómo se relacionan el núcleo y la imagen de un homomorfismo con los ideales y los subanillos?
• ¿Cómo factorizan los teoremas de isomorfismo un homomorfismo a través de un cociente?
• ¿Cómo surgen los mapeos de evaluación y reducción como homomorfismos de anillos?

Key theories

Primer teorema de isomorfismo para anillos

Todo homomorfismo de anillos se factoriza como una sobreyección sobre su imagen seguida de una inclusión, y su imagen es isomorfa al cociente del dominio por su núcleo, que es un ideal.

Teoremas de correspondencia e isomorfismo

El cociente por un ideal establece una biyección entre los ideales que lo contienen y los ideales del cociente, y los teoremas de isomorfismo segundo, tercero y cuarto describen cómo interactúan los subanillos, los ideales y los cocientes bajo homomorfismos.

Propiedad universal de los cocientes

Un homomorfismo cuyo núcleo contiene un ideal dado se factoriza de forma única a través del cociente por ese ideal, por lo que los anillos cociente son universales entre las imágenes homomórficas que anulan el ideal.

Clinical relevance

Los homomorfismos de anillos formalizan las operaciones básicas del álgebra: la reducción módulo un entero o un polinomio, la evaluación de polinomios y la inclusión de un anillo en uno más grande son todos homomorfismos. Convierten los anillos en una categoría y son los mapeos a lo largo de los cuales se transfieren la estructura y el cálculo en la teoría de números y la geometría algebraica.

History

Los teoremas de homomorfismo e isomorfismo se abstrajeron de la teoría de grupos a los anillos como parte del programa de álgebra estructural de Emmy Noether en la década de 1920, unificando construcciones que anteriormente se habían tratado caso por caso en la teoría de números y la teoría de ecuaciones.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

¿Por qué el núcleo de un homomorfismo de anillos debe ser un ideal?

El núcleo es cerrado bajo la adición y, debido a que el mapeo envía productos a productos y la imagen de un elemento del núcleo es cero, absorbe la multiplicación por cualquier elemento del anillo. Esa propiedad de absorción es exactamente la definición de un ideal.

¿Cuál es un ejemplo de homomorfismo de anillos en el álgebra cotidiana?

La reducción de enteros módulo n, la evaluación de un polinomio en un número fijo y la conjugación compleja son todos homomorfismos de anillos. Cada uno preserva sumas y productos, y los teoremas de isomorfismo describen sus imágenes como anillos cociente.