Módulo Libre

Un módulo libre es un módulo que admite una base, el análogo más cercano a un espacio vectorial en la teoría de módulos y el bloque de construcción universal del cual todos los módulos son cocientes.

Definition

Un módulo libre sobre un anillo es un módulo isomorfo a una suma directa de copias del anillo, o equivalentemente, un módulo que posee una base, un conjunto generador linealmente independiente.

Scope

Este tema cubre la definición de un módulo libre, su propiedad universal, el rango y la propiedad de dimensión invariante para anillos conmutativos, la presentación de módulos arbitrarios como cocientes de módulos libres, y la noción relacionada de módulos proyectivos.

Core questions

• ¿Qué significa que un módulo tenga una base?
• ¿Qué propiedad universal caracteriza a los módulos libres?
• ¿Está bien definido el rango de un módulo libre?
• ¿Cómo surge cada módulo como un cociente de un módulo libre?

Key theories

Propiedad universal de los módulos libres

Un módulo libre sobre un conjunto es universal entre los módulos que reciben un mapeo de ese conjunto: cualquier función de la base a un módulo se extiende de forma única a un homomorfismo de módulos, lo que convierte a los módulos libres en los objetos libres de la teoría de módulos.

Invariancia del rango

Sobre un anillo conmutativo con identidad, cualesquiera dos bases de un módulo libre tienen la misma cardinalidad, por lo que el rango es un invariante bien definido, generalizando la invariancia de la dimensión para espacios vectoriales.

Presentaciones libres

Cada módulo es un cociente de un módulo libre por un submódulo de relaciones, lo que proporciona una presentación mediante generadores y relaciones; cuando el módulo de relaciones también es libre, esto es una resolución libre, el inicio del álgebra homológica.

Clinical relevance

Los módulos libres son la herramienta fundamental del álgebra computacional y homológica: las presentaciones y resoluciones mediante módulos libres calculan invariantes como Tor y Ext, y sobre dominios de ideales principales, la interacción entre submódulos libres y de torsión produce el teorema de estructura que subyace a las formas canónicas y la clasificación de grupos abelianos.

History

La noción de base para un módulo generalizó las bases de los espacios vectoriales y los grupos abelianos libres de la aritmética del siglo XIX. Los módulos libres y sus resoluciones se volvieron centrales con el auge del álgebra homológica a mediados del siglo XX, donde miden cuán lejos se desvían los módulos de ser libres.

Key figures

• Emmy Noether
• Heinrich Brandt
• Wolfgang Krull

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

¿Es todo módulo libre?

No. Sobre un cuerpo, todo módulo es libre, pero sobre un anillo general la mayoría de los módulos no lo son; por ejemplo, los enteros módulo n no tienen base como módulo sobre los enteros. Los módulos libres son precisamente aquellos que sí admiten una base.

¿Cómo se relacionan los módulos proyectivos con los módulos libres?

Los módulos proyectivos son exactamente los sumandos directos de módulos libres, una clase ligeramente más grande. Sobre algunos anillos, como los dominios de ideales principales, los módulos proyectivos y libres finitamente generados coinciden, pero en general difieren.