Variables Aleatorias y Funciones de Distribución

Una variable aleatoria es una aplicación medible de un espacio de probabilidad a la recta real, y su función de distribución, la probabilidad de que la variable no exceda un nivel dado, es la forma universal de describir cómo se distribuyen sus valores.

Definition

Una variable aleatoria es una función medible de un espacio de probabilidad a los números reales, y su función de distribución asigna a cada número real la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a este.

Scope

El tema abarca la mensurabilidad de variables aleatorias de valor real y vectorial, la función de distribución acumulativa y sus propiedades definitorias de monotonicidad, continuidad por la derecha y límites, la correspondencia entre funciones de distribución y medidas de probabilidad en la recta, densidades y la descomposición de Lebesgue en partes discretas, absolutamente continuas y singulares, y distribuciones conjuntas de vectores aleatorios con sus marginales.

Core questions

• ¿Qué significa que una función en un espacio muestral sea una variable aleatoria?
• ¿Qué propiedades caracterizan una función de distribución acumulativa y cómo determina la distribución?
• ¿Cuándo tiene una distribución una densidad y cuáles son las alternativas?
• ¿Cómo se relacionan las distribuciones conjuntas y marginales de varias variables aleatorias?

Key concepts

• función medible
• función de distribución acumulativa
• densidad de probabilidad
• descomposición de Lebesgue
• distribuciones conjuntas y marginales

Key theories

Correspondencia de la función de distribución

Cada medida de probabilidad en la recta real corresponde a una función de distribución única no decreciente y continua por la derecha con límites cero y uno, y viceversa, lo que proporciona una descripción completa y concreta de las distribuciones unidimensionales.

Descomposición de Lebesgue de una distribución

Cualquier distribución en la recta se divide de forma única en una parte discreta soportada en átomos, una parte absolutamente continua con una densidad y una parte continua singular, lo que aclara cuándo existe una densidad de probabilidad y cuándo no.

Clinical relevance

Las funciones de distribución son lo que estiman los datos empíricos y lo que postulan los modelos estadísticos; la función de distribución empírica subyace a las pruebas de bondad de ajuste y al bootstrap, los cuantiles derivados de la función de distribución definen el valor en riesgo y los rangos de referencia, y las densidades son los objetos ajustados en la mayoría de las inferencias basadas en verosimilitud.

History

El reconocimiento de que una variable aleatoria es simplemente una función medible y que su comportamiento es capturado por una función de distribución surgió con la reformulación de la probabilidad basada en la teoría de la medida a principios del siglo XX, reemplazando el tratamiento anterior caso por caso de distribuciones particulares.

Key figures

• Andrey Kolmogorov
• William Feller
• Henri Lebesgue

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

¿Toda variable aleatoria tiene una densidad?

No; solo las variables aleatorias cuya distribución es absolutamente continua tienen una densidad. Las variables discretas colocan masa en puntos individuales, y las distribuciones continuas singulares, más raras, no tienen densidad aunque no tengan átomos.

¿Por qué la función de distribución se define con "menor o igual" en lugar de "estrictamente menor"?

La convención de "menor o igual" hace que la función de distribución sea continua por la derecha, lo cual es la elección natural que la pone en clara correspondencia con la medida de probabilidad subyacente y sus átomos.