Transformaciones y Momentos

Las funciones de variables aleatorias tienen distribuciones propias, que se encuentran mediante fórmulas de cambio de variables, y los momentos y sus funciones generadoras resumen una distribución a través de su media, varianza y forma de orden superior.

Definition

Una transformación de una variable aleatoria es una función medible de la misma cuya distribución se obtiene al empujar hacia adelante la ley original, y los momentos son las esperanzas de las potencias de una variable aleatoria que resumen la ubicación, la dispersión y la forma de su distribución.

Scope

El tema abarca la distribución de funciones de una o varias variables aleatorias mediante las fórmulas de cambio de variables y jacobiano, momentos y momentos centrales, varianza y covarianza, las funciones generadoras de momentos y de cumulantes, las relaciones entre momentos, cumulantes, asimetría y curtosis, y el problema de los momentos de cuándo los momentos determinan una distribución.

Core questions

• ¿Cómo se calcula la distribución de una función de variables aleatorias a partir de la distribución original?
• ¿Qué miden los momentos sucesivos de una distribución?
• ¿Cómo codifican las funciones generadoras todos los momentos a la vez?
• ¿Cuándo los momentos de una distribución la determinan de forma única?

Key concepts

• cambio de variables y jacobiano
• momentos y momentos centrales
• varianza y covarianza
• cumulantes
• problema de los momentos

Key theories

Fórmula de cambio de variables

Para una transformación suave e invertible, la densidad de la variable transformada es la densidad original evaluada en la inversa, escalada por el valor absoluto del determinante jacobiano, que es la herramienta estándar para derivar la ley de una función de variables aleatorias.

Funciones generadoras de momentos y de cumulantes

Cuando existe, la función generadora de momentos codifica todos los momentos a través de sus derivadas en el origen, y su logaritmo, la función generadora de cumulantes, tiene cumulantes que se suman sobre variables independientes, simplificando el estudio de las sumas.

El problema de los momentos

Los momentos determinan una distribución de forma única bajo condiciones de crecimiento como las de Carleman, pero las distribuciones de cola pesada como la log-normal pueden compartir todos los momentos con otras, por lo que los momentos no siempre caracterizan una ley.

Clinical relevance

Las transformaciones y los momentos son herramientas cotidianas de la probabilidad aplicada: la derivación de la distribución de una cantidad transformada apoya la simulación y la propagación de errores, los momentos proporcionan las medias, varianzas y correlaciones utilizadas en toda la estadística y la teoría de carteras, y la asimetría y la curtosis señalan desviaciones de la normalidad en el análisis de riesgos y control de calidad.

History

Los momentos y el problema de los momentos fueron centrales en el trabajo del siglo XIX de Chebyshev, Markov y Stieltjes, quienes utilizaron métodos de momentos para probar los primeros teoremas límite; la técnica de cambio de variables para densidades es la contraparte probabilística de la regla de sustitución del cálculo.

Key figures

• Pafnuty Chebyshev
• Thomas Stieltjes
• William Feller
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971

Frequently asked questions

¿Los momentos de una distribución siempre la determinan?

No siempre; bajo ciertas condiciones de crecimiento de los momentos sí lo hacen, pero algunas distribuciones, como la log-normal, comparten cada momento con distribuciones distintas, por lo que la secuencia de momentos puede no ser suficiente para definir la ley.

¿Por qué introducir los cumulantes junto con los momentos?

Los cumulantes se suman sobre variables aleatorias independientes, por lo que se comportan de forma más sencilla para las sumas que los momentos; el segundo cumulante es la varianza y los cumulantes superiores miden las desviaciones de la normalidad, todos los cuales se anulan por encima del orden dos para la distribución normal.