Control Óptimo
El control óptimo determina las entradas de control que dirigen un sistema dinámico para optimizar un criterio de rendimiento a lo largo del tiempo.
Definition
Un problema de control óptimo busca una función de control que minimice un funcional de costo sujeto a ecuaciones diferenciales que rigen el estado; su solución se caracteriza por las condiciones necesarias del principio de máximo o por la función de valor de la programación dinámica.
Scope
Este tema abarca la formulación de problemas de control con dinámicas de estado y funcionales de costo, el principio de máximo de Pontryagin y las ecuaciones adjuntas, la programación dinámica y la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, el regulador lineal-cuadrático y la relación con el cálculo clásico de variaciones.
Core questions
- ¿Qué ley de control minimiza un costo dado sobre la trayectoria del sistema?
- ¿Qué condiciones necesarias debe satisfacer un control óptimo?
- ¿Cómo caracteriza la programación dinámica la función de valor óptimo?
- ¿Cómo extiende el control óptimo el cálculo de variaciones a entradas restringidas?
Key theories
- Principio de máximo de Pontryagin
- Un control óptimo maximiza un hamiltoniano en cada instante, con una variable de coestado adjunta que evoluciona hacia atrás en el tiempo, proporcionando condiciones necesarias incluso cuando los controles están restringidos.
- Programación dinámica y la ecuación HJB
- El principio de optimalidad de Bellman conduce a la ecuación diferencial parcial de Hamilton-Jacobi-Bellman para la función de valor, cuya solución produce el control de retroalimentación óptimo.
- Regulador lineal-cuadrático
- Para dinámicas lineales y costo cuadrático, el control óptimo es una retroalimentación de estado lineal determinada por la solución de una ecuación de Riccati, una piedra angular de la ingeniería de control.
Clinical relevance
El control óptimo rige la guía de aeronaves y naves espaciales, el control de procesos y robótica, la planificación económica y de recursos a lo largo del tiempo, y los modelos de programación de tratamientos, proporcionando la forma fundamentada de actuar de manera óptima sobre un sistema dinámico.
History
El control óptimo surgió en la década de 1950 del cálculo de variaciones bajo la presión de problemas aeroespaciales. Pontryagin y sus colaboradores establecieron el principio de máximo alrededor de 1956-1962, Bellman desarrolló la programación dinámica en paralelo, y la teoría lineal-cuadrática y de filtrado de Kalman hizo que el tema fuera central para la ingeniería moderna.
Key figures
- Lev Pontryagin
- Richard Bellman
- Rudolf Kalman
- Constantin Caratheodory
Related topics
Seminal works
- pontryagin1962
- bertsekas2017
- liberzon2012
Frequently asked questions
- ¿Cómo se relaciona el control óptimo con el cálculo de variaciones?
- El cálculo de variaciones optimiza libremente sobre curvas, mientras que el control óptimo optimiza sobre las entradas a un sistema dinámico, a menudo con restricciones en los controles. El principio de máximo generaliza las condiciones clásicas de Euler-Lagrange a este entorno restringido y dirigido por el sistema.
- ¿Cuál es la diferencia entre el principio de máximo y la programación dinámica?
- El principio de máximo proporciona condiciones necesarias a lo largo de una única trayectoria óptima utilizando una variable adjunta, mientras que la programación dinámica caracteriza el costo óptimo desde cada estado a través de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, produciendo una ley de retroalimentación. Los dos puntos de vista son complementarios y están conectados.