Cálculo de Variaciones
El cálculo de variaciones busca funciones que extremicen funcionales integrales, generalizando la maximización y minimización ordinarias de puntos a curvas y campos.
Definition
El cálculo de variaciones estudia funcionales, que asignan números a funciones, y busca las funciones en las que un funcional es estacionario o alcanza un valor extremo, sujeto a condiciones de contorno y laterales.
Scope
Esta área abarca la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange como condiciones necesarias para un extremal, problemas variacionales con restricciones y fronteras libres, condiciones de segunda variación y convexidad para mínimos, el método directo que establece la existencia de minimizadores, y la conexión con la mecánica hamiltoniana y el control óptimo.
Sub-topics
Core questions
- ¿Qué funciones hacen estacionario un funcional integral dado?
- ¿Qué condiciones necesarias y suficientes identifican un minimizador?
- ¿Cuándo existe realmente un minimizador?
- ¿Cómo codifican los principios variacionales las leyes de la física?
Key theories
- Ecuaciones de Euler-Lagrange
- Una función que extremiza un funcional integral debe satisfacer la ecuación diferencial de Euler-Lagrange, el análogo variacional de igualar una derivada a cero.
- Método directo
- La existencia de un minimizador se establece tomando una secuencia minimizadora y utilizando la compacidad y la semicontinuidad inferior, evitando la solución explícita de la ecuación de Euler-Lagrange.
- Principios variacionales en física
- El principio de acción estacionaria de Hamilton reformula la mecánica y la teoría de campos como problemas variacionales, unificando sus ecuaciones gobernantes a través del cálculo de variaciones.
Clinical relevance
Los métodos variacionales expresan leyes fundamentales en física a través de principios de mínima acción y mínima energía, y sustentan el control óptimo, la geometría de superficies mínimas y geodésicas, el procesamiento de imágenes y el método de elementos finitos en ingeniería.
History
El tema comenzó con el problema de la braquistócrona planteado por Johann Bernoulli en 1696. Euler y Lagrange desarrollaron la teoría general y la ecuación de Euler-Lagrange en el siglo XVIII, Hamilton reformuló la mecánica de forma variacional, y el método directo de Hilbert del siglo XX y su vigésimo tercer problema revitalizaron la teoría de la existencia.
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- ¿En qué se diferencia el cálculo de variaciones del cálculo ordinario?
- El cálculo ordinario encuentra puntos donde una función es máxima o mínima, mientras que el cálculo de variaciones encuentra funciones completas, como curvas o superficies, que extremizan una integral. La incógnita es una función en lugar de un número, y la condición para un extremo es una ecuación diferencial.
- ¿Qué es el principio de mínima acción?
- Es la afirmación física de que el movimiento de un sistema hace estacionaria una cantidad llamada acción. La aplicación del cálculo de variaciones a la acción produce las ecuaciones de movimiento, por lo que gran parte de la física clásica y cuántica puede derivarse de un único principio variacional.