Cuadratura de Newton-Cotes

Las reglas de Newton-Cotes aproximan una integral integrando el polinomio que interpola el integrando en puntos igualmente espaciados, dando fórmulas conocidas como las reglas trapezoidal y de Simpson.

Definition

Una regla de cuadratura de Newton-Cotes es una regla de cuadratura interpolatoria cuyos nodos están igualmente espaciados a lo largo del intervalo de integración, con pesos obtenidos al integrar el polinomio interpolador correspondiente.

Scope

Este tema cubre las fórmulas de Newton-Cotes cerradas y abiertas, sus grados de exactitud y términos de error, las reglas trapezoidal y de Simpson compuestas obtenidas al subdividir el intervalo, la integración de Romberg mediante la extrapolación de Richardson, y la inestabilidad de las reglas de Newton-Cotes de alto orden que limita su grado práctico.

Core questions

• ¿Cómo se derivan las reglas trapezoidal y de Simpson como interpolantes integrados?
• ¿Cuáles son los términos de error de estas reglas y por qué la regla de Simpson gana un orden adicional por simetría?
• ¿Cómo mejoran sistemáticamente la precisión las reglas compuestas y la extrapolación de Romberg?
• ¿Por qué las reglas de Newton-Cotes de alto orden se vuelven inestables y qué limita su uso?

Key theories

Grado de exactitud y términos de error

La regla trapezoidal es exacta para integrandos lineales con un error proporcional a la segunda derivada, mientras que la regla de Simpson, por simetría, es exacta para cúbicas con un error proporcional a la cuarta derivada, ganando un orden más allá de su grado de interpolación.

Reglas compuestas e integración de Romberg

La aplicación de una regla básica en muchos subintervalos produce una regla compuesta cuyo error disminuye polinómicamente con el tamaño del paso; la extrapolación de Richardson de la regla trapezoidal compuesta produce el esquema de Romberg de convergencia rápida.

Mechanisms

Cada regla básica integra el interpolante equiespaciado exactamente: la regla trapezoidal integra un ajuste de línea recta, la regla de Simpson una parábola. Las reglas compuestas dividen el intervalo y suman las reglas básicas en cada pieza, por lo que reducir a la mitad el tamaño del paso reduce el error de manera predecible. La integración de Romberg tabula las estimaciones trapezoidales compuestas en tamaños de paso sucesivamente reducidos a la mitad y aplica una extrapolación de Richardson repetida, cancelando los términos de error principales para lograr una precisión de alto orden para integrandos suaves. Las reglas de Newton-Cotes de un solo intervalo de alto orden adquieren grandes pesos oscilatorios de signo mixto, reflejando el fenómeno de Runge, lo que causa cancelación e inestabilidad.

Clinical relevance

Las reglas de Newton-Cotes, especialmente las formas trapezoidal y de Simpson compuestas, son las herramientas de cuadratura de bajo costo predeterminadas cuando las muestras del integrando están naturalmente igualmente espaciadas —por ejemplo, datos experimentales tabulados, integración de series de tiempo y posprocesamiento de simulación simple— y la integración de Romberg proporciona resultados precisos para funciones suaves con una codificación mínima.

History

Estas reglas se originan con Newton y Cotes a principios del siglo XVIII y con Thomas Simpson, cuya regla lleva su nombre; el esquema de extrapolación de Werner Romberg de 1955 convirtió la regla trapezoidal elemental en un método de alta precisión y sigue siendo una herramienta estándar de enseñanza y computación.

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

¿Por qué la regla de Simpson es más precisa que la regla trapezoidal?

La regla de Simpson ajusta una parábola a través de tres puntos en lugar de una línea a través de dos, y debido a la simetría integra polinomios cúbicos exactamente, por lo que su error depende de la cuarta derivada y disminuye mucho más rápido a medida que el tamaño del paso decrece.

¿Por qué no usar simplemente una regla de Newton-Cotes de muy alto orden?

Las reglas de Newton-Cotes de alto orden en nodos igualmente espaciados desarrollan grandes pesos con signos alternos, lo que provoca cancelación numérica e inestabilidad. En la práctica, se utilizan reglas compuestas de bajo orden, extrapolación de Romberg o cuadratura gaussiana en su lugar.