Extensión Integral

Una extensión integral es una extensión de anillo en la que cada elemento satisface un polinomio mónico sobre el subanillo, generalizando las extensiones de campo algebraicas y controlando cómo se relacionan los ideales primos entre los anillos.

Definition

Un elemento de una extensión de anillo es integral sobre un subanillo si es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en el subanillo; la extensión es integral cuando cada elemento es integral, y el cierre integral es el conjunto de todos esos elementos.

Scope

Este tema cubre los elementos integrales y la dependencia integral, el cierre integral de un anillo en una extensión y los anillos normales, los teoremas de "lying-over", "going-up" y "going-down", y la normalización de Noether, los resultados estructurales que fundamentan la teoría de la dimensión.

Core questions

• ¿Qué significa que un elemento de un anillo sea integral sobre un subanillo?
• ¿Qué es el cierre integral y cuándo un anillo es normal?
• ¿Cómo se elevan y descienden los ideales primos a lo largo de una extensión integral?
• ¿Cómo presenta la normalización de Noether un álgebra como una extensión finita de un anillo de polinomios?

Key theories

Cierre integral y normalidad

Los elementos integrales sobre un subanillo forman un subanillo, el cierre integral, y un dominio igual a su propio cierre integral en su campo de fracciones se denomina integralmente cerrado o normal, una condición de regularidad clave.

Teoremas de "lying-over" y "going-up"

Para una extensión integral, cada ideal primo del subanillo es la contracción de un ideal primo de la extensión ("lying over"), y las cadenas de ideales primos se elevan de forma compatible ("going up"), por lo que los espectros primos de los dos anillos están estrechamente vinculados.

Normalización de Noether

Toda álgebra finitamente generada sobre un campo es un módulo finito, y por lo tanto integral, sobre un subanillo de polinomios en elementos algebraicamente independientes, el corazón algebraico de la teoría de la dimensión y de la geometría de las variedades afines.

Clinical relevance

Las extensiones integrales son fundamentales en la teoría algebraica de números, donde el anillo de enteros de un campo numérico es el cierre integral de los enteros, y en la geometría algebraica, donde la normalización de Noether y el teorema de "going-up" sustentan la teoría de la dimensión y el comportamiento de los morfismos finitos entre variedades.

History

La dependencia integral abstrae los enteros algebraicos de la teoría de números estudiados por Dedekind. El lema de normalización de Emmy Noether y el trabajo de Krull en las décadas de 1920 y 1930 hicieron de las extensiones integrales la base de la teoría de la dimensión, posteriormente interpretada geométricamente por Zariski y Grothendieck.

Key figures

• Emmy Noether
• Wolfgang Krull
• David Hilbert
• Oscar Zariski

Seminal works

• atiyah1969
• eisenbud1995
• matsumura1989

Frequently asked questions

¿Cómo generaliza una extensión integral una extensión de campo algebraica?

Sobre un campo, integral y algebraico significan lo mismo porque los polinomios mónicos y los polinomios arbitrarios no nulos difieren solo por una unidad. Sobre un anillo general, la condición mónica es esencial, capturando los elementos que se comportan como enteros algebraicos.

¿Por qué es importante la normalización de Noether?

Presenta cualquier álgebra finitamente generada sobre un campo como una extensión finita de un anillo de polinomios, por lo que su dimensión es igual al número de variables polinómicas. Esto fundamenta toda la teoría de la dimensión de las variedades afines en una construcción concreta.