Grandes Desviaciones

La teoría de las grandes desviaciones mide la improbabilidad de eventos raros, mostrando que la probabilidad de que un promedio muestral se desvíe mucho de su media decae exponencialmente rápido a una tasa fijada por una función de tasa convexa.

Definition

Un principio de grandes desviaciones cuantifica la tasa exponencial a la que la probabilidad de un evento raro decae a medida que un parámetro de escala crece, a través de una función de tasa semicontinua inferior que asigna a cada resultado el costo exponencial de observarlo.

Scope

El tema abarca el principio de grandes desviaciones con su función de tasa y buenas funciones de tasa, el teorema de Cramer para sumas de variables independientes expresado a través de la transformada de Legendre de la función generadora de cumulantes, el teorema de Gartner-Ellis para secuencias dependientes, el teorema de Sanov para medidas empíricas, el principio de contracción y el lema integral de Varadhan.

Core questions

• ¿Qué tan rápido decae la probabilidad de que un promedio muestral se aleje de su media?
• ¿Qué es la función de tasa y cómo se calcula a partir de la distribución subyacente?
• ¿Cómo se transforman los principios de grandes desviaciones bajo mapas e integrales continuos?
• ¿Cómo se extiende la teoría de sumas independientes a medidas empíricas y procesos dependientes?

Key concepts

• principio de grandes desviaciones
• función de tasa
• teorema de Cramer
• transformada de Legendre
• principio de contracción

Key theories

Teorema de Cramer

Para sumas de variables independientes idénticamente distribuidas, la media empírica satisface un principio de grandes desviaciones cuya función de tasa es la transformada de Legendre de la función generadora de cumulantes, lo que proporciona la tasa exponencial exacta de decaimiento para promedios atípicos.

Lema integral de Varadhan

Las integrales exponenciales contra una secuencia que satisface un principio de grandes desviaciones se rigen asintóticamente por una fórmula variacional que equilibra el integrando con la función de tasa, el análogo de grandes desviaciones del método de Laplace y la ruta para los cálculos de energía libre.

Principio de contracción

Si una secuencia obedece un principio de grandes desviaciones y es mapeada por una función continua, la imagen obedece un principio de grandes desviaciones cuya función de tasa se obtiene minimizando la función de tasa original sobre las preimágenes, transfiriendo tasas a través de cambios de variable.

Clinical relevance

Las tasas de grandes desviaciones cuantifican la probabilidad de eventos raros pero consecuentes: limitan las probabilidades de desbordamiento de búfer y pérdida de paquetes en redes de comunicación, las probabilidades de ruina en seguros, los exponentes de error en la teoría de la información y las tasas de transición metaestable en física estadística y cinética química.

History

Cramer obtuvo la tasa exponencial para sumas de variables independientes en 1938. Varadhan formuló el principio abstracto de grandes desviaciones en la década de 1960 y desarrolló su cálculo, trabajo reconocido con el Premio Abel, y Freidlin y Wentzell extendieron la teoría a sistemas dinámicos con ruido pequeño.

Key figures

• Harald Cramer
• S. R. Srinivasa Varadhan
• Mark Freidlin
• Alexander Wentzell

Seminal works

• dembo1998
• varadhan1984

Frequently asked questions

¿Cómo va la teoría de las grandes desviaciones más allá del teorema del límite central?

El teorema del límite central describe fluctuaciones típicas en la escala de uno sobre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, mientras que la teoría de las grandes desviaciones describe fluctuaciones atípicas de orden uno, cuyas probabilidades son exponencialmente pequeñas y se rigen por la función de tasa en lugar de la gaussiana.

¿Qué es una función de tasa?

Es la función no negativa cuyo valor en un punto da la tasa exponencial de decaimiento de la probabilidad de estar cerca de ese punto; se anula en el valor típico y crece a medida que los resultados se vuelven más raros, por lo que minimizarla identifica la forma más probable en que ocurre un evento raro.