Espacio de Hilbert y estados cuánticos

Un estado cuántico es un vector en un espacio de Hilbert, un espacio vectorial complejo completo equipado con un producto interno, y este entorno geométrico proporciona la superposición, la ortogonalidad y la estructura de probabilidad en las que se basa la mecánica cuántica.

Definition

Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con producto interno completo sobre los números complejos, y un estado cuántico puro es un vector unitario en él, con los estados mixtos representados por operadores de densidad que son positivos, hermitianos y de traza unitaria.

Scope

El tema abarca la definición de un espacio de Hilbert y su producto interno, la normalización y la irrelevancia física de la fase global, las bases ortonormales y la completitud, la distinción entre estados puros y mezclas estadísticas descritas por el operador de densidad, y el espacio de Hilbert "rigged" (equipado) necesario para acomodar espectros continuos como la posición y el momento.

Core questions

• ¿Qué propiedades hacen que un espacio de Hilbert sea el hogar adecuado para los estados cuánticos?
• ¿Por qué un estado cuántico se define solo hasta la normalización y la fase global?
• ¿Cómo describe el operador de densidad una mezcla estadística de estados?
• ¿Cómo se manejan matemáticamente los estados de espectro continuo, como los autoestados de posición?

Key concepts

• producto interno
• base ortonormal
• relación de completitud
• normalización y fase
• operador de densidad
• espacio de Hilbert equipado

Key theories

Estados puros como rayos

Un estado puro corresponde a un subespacio unidimensional, o rayo, del espacio de Hilbert, por lo que dos vectores unitarios que difieren solo por un factor de fase describen el mismo estado físico, mientras que su fase relativa en una superposición es físicamente significativa.

Operador de densidad para estados mixtos

Un conjunto estadístico o un subsistema de un par entrelazado se describe no por un solo vector, sino por un operador de densidad, un operador positivo hermitiano de traza unitaria cuyos elementos diagonales dan las poblaciones y cuyos elementos fuera de la diagonal codifican las coherencias.

Clinical relevance

La imagen del espacio de Hilbert es el lenguaje de trabajo de la tecnología cuántica: los qubits son vectores unitarios en espacios bidimensionales, el operador de densidad describe estados ruidosos y parcialmente conocidos en la información cuántica, y las relaciones de completitud son la base de todo cálculo práctico de amplitudes y probabilidades.

History

Hilbert y sus estudiantes desarrollaron la teoría de los espacios con producto interno de dimensión infinita alrededor de 1900; von Neumann reconoció a finales de la década de 1920 que esta estructura unificaba la mecánica matricial de Heisenberg y la mecánica ondulatoria de Schrödinger, y Landau y von Neumann introdujeron el operador de densidad para describir los estados mixtos.

Key figures

• David Hilbert
• John von Neumann
• Paul Dirac
• Lev Landau

Seminal works

• vonneumann1955
• shankar1994

Frequently asked questions

¿Cuál es la diferencia entre un estado puro y un estado mixto?

Un estado puro es un único vector del espacio de Hilbert que posee coherencia cuántica completa, mientras que un estado mixto es una mezcla probabilística de estados puros descrita por un operador de densidad, lo que refleja ya sea una incertidumbre clásica sobre qué estado se preparó o un entrelazamiento con un sistema no observado.

¿Por qué la fase global de un estado no importa?

Las probabilidades de medición dependen de los cuadrados de las magnitudes de las amplitudes, que no cambian al multiplicar todo el estado por un factor de fase; solo las fases relativas entre los componentes de una superposición afectan la interferencia y, por lo tanto, son físicas.