Funtores Adjuntos

Los funtores adjuntos son pares de funtores relacionados por una correspondencia natural entre morfismos, un patrón omnipresente que captura construcciones libres, funtores olvidadizos y soluciones óptimas en todas las matemáticas.

Definition

Un funtor es adjunto izquierdo a un funtor en la dirección opuesta cuando existe una biyección natural entre morfismos desde un objeto de la fuente a la imagen de un objeto y morfismos desde su imagen a ese objeto; esta única relación codifica una propiedad universal para cada objeto.

Scope

Este tema cubre la definición de una adjunción mediante una biyección natural de conjuntos hom, las formulaciones equivalentes a través de la unidad y counidad y a través de flechas universales, la preservación de límites por adjuntos derechos y colímites por adjuntos izquierdos, los teoremas de funtores adjuntos y la conexión entre adjunciones y mónadas.

Core questions

• ¿Qué correspondencia natural define una adjunción entre dos funtores?
• ¿Cómo codifican la unidad y la counidad la adjunción?
• ¿Por qué los adjuntos derechos preservan los límites y los adjuntos izquierdos preservan los colímites?
• ¿Cuándo tiene un funtor un adjunto?

Key theories

Adjunciones de conjuntos hom

Una adjunción es un isomorfismo natural entre dos funtores hom, por lo que cada adjunto izquierdo proporciona la solución libre o más eficiente a un problema planteado por el adjunto derecho.

Unidad, counidad e identidades triangulares

Una adjunción se da de forma equivalente mediante transformaciones naturales de unidad y counidad que satisfacen las identidades triangulares, una descripción adecuada para el cálculo y para la definición de mónadas.

Preservación de límites y colímites

Los adjuntos derechos preservan todos los límites y los adjuntos izquierdos preservan todos los colímites, un hecho que explica muchas propiedades de continuidad y exactitud y apoya los teoremas de funtores adjuntos que proporcionan criterios de existencia.

Clinical relevance

Las adjunciones se encuentran entre las ideas más unificadoras en matemáticas: los grupos libres, las relaciones tensor-hom, la compactificación de Stone-Cech y la relación entre sintaxis y semántica en lógica son todas adjunciones, y reconocer una inmediatamente produce propiedades universales y resultados de preservación, razón por la cual los teóricos de categorías consideran la adjunción como el concepto central.

History

Daniel Kan introdujo los funtores adjuntos en 1958, reconociendo el patrón recurrente que relaciona los funtores libres y olvidadizos y otras construcciones duales. Lawvere destacó las adjunciones como fundamentales, incluyendo la adjunción entre sintaxis y semántica, y los teoremas de funtores adjuntos de Freyd proporcionaron condiciones generales para la existencia de adjuntos.

Key figures

• Daniel Kan
• Saunders Mac Lane
• F. William Lawvere
• Peter Freyd

Seminal works

• maclane1998
• awodey2010
• riehl2016

Frequently asked questions

¿Cuál es un ejemplo familiar de adjunción?

El funtor de grupo libre es adjunto izquierdo al funtor que olvida la estructura de grupo de un grupo a su conjunto subyacente. Los mapas de un conjunto a un grupo corresponden naturalmente a los homomorfismos del grupo libre en ese conjunto, lo cual es exactamente la biyección de adjunción.

¿Por qué los matemáticos dicen que los funtores adjuntos surgen en todas partes?

Las construcciones libres, las completaciones, los productos y exponenciales, y muchas relaciones entre una estructura y una sombra más simple de ella son adjunciones. El patrón es tan común que detectar una adjunción suele ser la ruta más rápida hacia la propiedad universal de una construcción y su preservación de límites o colímites.