Regresión lineal simple

La regresión lineal simple modela el valor esperado de un resultado continuo como una función lineal de una única variable explicativa. Estima una intersección y una pendiente mediante mínimos cuadrados, donde la pendiente expresa cuánto cambia el resultado, en promedio, por cada aumento de una unidad en el predictor. Es el modelo de regresión fundamental a partir del cual se construyen modelos más elaborados.

Definition

La regresión lineal simple ajusta el modelo E(Y) = a + bX, estimando la intersección a y la pendiente b minimizando la suma de los residuos al cuadrado (mínimos cuadrados ordinarios), de modo que la pendiente cuantifica el cambio promedio en el resultado continuo Y por cada aumento de una unidad en el predictor único X.

Scope

Esta entrada cubre el modelo de línea recta con un predictor: el significado de la intersección y la pendiente, la estimación por mínimos cuadrados, los supuestos de linealidad, independencia, varianza constante y residuos aproximadamente normales, y la interpretación del ajuste a través de intervalos de confianza, predicción y el coeficiente de determinación. Es un tema metodológico, no una guía clínica.

Core questions

• ¿Cómo se ajusta una línea recta a los datos y qué minimizan los 'mínimos cuadrados'?
• ¿Qué significan sustantivamente la intersección y la pendiente?
• ¿Qué supuestos deben cumplirse para que las estimaciones y sus intervalos de confianza sean válidos?
• ¿Cómo se relaciona la regresión lineal simple con el coeficiente de correlación?
• ¿Cómo se utiliza la línea ajustada para la estimación frente a la predicción?

Key concepts

• Intersección y pendiente
• Mínimos cuadrados ordinarios
• Residuos
• Supuestos: linealidad, independencia, varianza constante, errores normales
• Intervalo de confianza para la pendiente
• Coeficiente de determinación (R-cuadrado)
• Intervalos de confianza versus predicción
• Regresión a la media

Mechanisms

El modelo postula que la media del resultado se encuentra en una línea recta en el predictor, con observaciones individuales dispersas alrededor de esa línea. Los mínimos cuadrados ordinarios eligen la intersección y la pendiente que minimizan la suma de las distancias verticales al cuadrado (residuos) entre los valores observados y ajustados. La estimación de la pendiente tiene un error estándar a partir del cual se derivan un intervalo de confianza y una prueba de hipótesis, válidos cuando los residuos son independientes, tienen una varianza aproximadamente constante y están distribuidos aproximadamente de forma normal. El coeficiente de determinación, R-cuadrado, informa la proporción de la varianza del resultado explicada por el predictor y es igual al cuadrado de la correlación de Pearson en el caso de un predictor simple. Un intervalo de confianza describe la incertidumbre en el resultado medio para un valor predictor dado, mientras que un intervalo de predicción, que es más amplio, describe la incertidumbre en una observación futura individual.

Clinical relevance

La regresión lineal simple aparece en toda la literatura de salud para describir cómo una medición continua se relaciona con otra y para construir relaciones de referencia y líneas de calibración. Reconocer sus supuestos es parte de la evaluación de dichos análisis. Esta entrada describe el método y no es una base para decisiones individuales de diagnóstico o tratamiento.

Evidence & guidelines

Los textos estándar de estadística médica y la serie BMJ Statistics Notes describen cómo deben informarse e interpretarse las líneas de regresión, las pendientes y sus intervalos de confianza, y enfatizan la verificación de los residuos antes de confiar en una línea ajustada.

History

El modelo de línea recta se remonta a la observación de Francis Galton en el siglo XIX de la 'regresión a la media' en los rasgos hereditarios, el fenómeno que dio nombre a la regresión, y al método de mínimos cuadrados desarrollado anteriormente en astronomía y geodesia. Pearson y sus sucesores formalizaron la inferencia para la pendiente, y el modelo se convirtió en el punto de entrada para el aparato de regresión más amplio de la bioestadística moderna.

Key figures

• Francis Galton
• Karl Pearson
• Douglas Altman
• Martin Bland

Seminal works

• altman-1991
• kutner-2005

Frequently asked questions

¿Qué significa la pendiente en una regresión lineal simple?

La pendiente es el cambio promedio en el resultado por cada aumento de una unidad en el predictor. Su intervalo de confianza y valor p indican con qué precisión se estima y si la asociación es distinguible de ninguna relación.

¿Cuál es la diferencia entre un intervalo de confianza y un intervalo de predicción para una línea de regresión?

Un intervalo de confianza expresa la incertidumbre sobre el resultado medio para un valor predictor dado, mientras que un intervalo de predicción, que es más amplio, expresa la incertidumbre sobre una nueva observación individual para ese valor porque también incluye la dispersión de puntos alrededor de la línea.