Zeitabhängige und zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung beschreibt, wie sich eine Wellenfunktion entwickelt. Durch die Trennung der Zeitabhängigkeit wird sie auf die zeitunabhängige Gleichung reduziert, ein Eigenwertproblem, dessen Lösungen die stationären Zustände mit definierter Energie sind.

Definition

Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung besagt, dass der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung der Wellenfunktion erzeugt, während die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung die resultierende Eigenwertgleichung ist, deren Lösungen die stationären Zustände definierter Energie sind.

Scope

Das Thema umfasst die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung und die Wahrscheinlichkeitserhaltung, die Variablentrennung für zeitunabhängige Hamilton-Operatoren, die zeitunabhängige Gleichung als Energie-Eigenwertproblem, stationäre Zustände und ihre triviale Phasenentwicklung, die Entwicklung eines allgemeinen Zustands in Energie-Eigenzuständen und den Propagator, der jeden Zustand in der Zeit vorantreibt.

Core questions

• Wie bestimmt der Hamilton-Operator die Entwicklung eines beliebigen Quantenzustands?
• Warum führt die Trennung von Zeit und Raum zu einem Energie-Eigenwertproblem?
• Was ist das Besondere an stationären Zuständen unter Zeitentwicklung?
• Wie wird der zukünftige Zustand einer beliebigen Superposition berechnet?

Key concepts

• Hamilton-Operator
• stationärer Zustand
• Energie-Eigenwert
• Variablentrennung
• Wahrscheinlichkeitserhaltung
• Propagator

Key theories

Variablentrennung

Wenn der Hamilton-Operator keine explizite Zeitabhängigkeit aufweist, reduzieren Lösungen der Form räumliche Funktion mal Zeitphase die vollständige Gleichung auf das zeitunabhängige Eigenwertproblem, wobei jeder Energie-Eigenzustand im Laufe der Zeit nur eine oszillierende Phase annimmt.

Spektrale Entwicklung und der Propagator

Jeder Anfangszustand kann als Superposition von Energie-Eigenzuständen geschrieben werden, wobei sich jeder durch seine eigene Phase entwickelt, sodass die vollständige Zeitentwicklung durch einen Propagator erfasst wird, der aus dem Energiespektrum aufgebaut ist und den Zustand zu einem Zeitpunkt auf einen späteren Zeitpunkt abbildet.

Clinical relevance

Dieses Gleichungspaar ist der Ausgangspunkt für nahezu alle Quantenberechnungen: Stationäre Zustände liefern die Spektrallinien, die in der Atom- und Molekülspektroskopie gemessen werden, während die zeitabhängige Form Übergänge, Wellenpaketdynamik und die kohärente Steuerung von Qubits in der Quantentechnologie regelt.

History

Schrödinger präsentierte beide Formen seiner Gleichung in seiner Artikelreihe von 1926 und wandte die zeitunabhängige Gleichung sofort auf das Wasserstoffatom an; Dirac und von Neumann formulierten die Zeitentwicklung später in der abstrakten Operatorensprache der unitären Propagatoren neu.

Key figures

• Erwin Schrodinger
• Paul Dirac
• John von Neumann

Seminal works

• griffiths2018
• sakurai2017

Frequently asked questions

Warum wird ein Zustand als stationär bezeichnet, wenn er sich dennoch in der Zeit entwickelt?

Ein stationärer Zustand nimmt nur eine oszillierende Gesamtphase an, die sich in jeder Messwahrscheinlichkeit oder jedem Erwartungswert aufhebt, sodass alle beobachtbaren Eigenschaften zeitlich konstant bleiben, obwohl sich die Wellenfunktion selbst in der komplexen Ebene weiterdreht.

Wann kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung verwendet werden?

Sie findet Anwendung, wenn der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt, was eine Variablentrennung ermöglicht; bei zeitlich variierenden Potenzialen muss die vollständige zeitabhängige Gleichung gelöst oder die zeitabhängige Störungstheorie angewendet werden.