Sturm-Liouville-Theorie

Die Sturm-Liouville-Theorie analysiert eine Klasse von linearen Randwertproblemen zweiter Ordnung, deren Eigenwerte reell und diskret sind und deren Eigenfunktionen eine vollständige orthogonale Basis bilden.

Definition

Ein Sturm-Liouville-Problem sucht Werte eines Parameters, für die die Gleichung minus (p y Strich) Strich plus q y gleich Lambda w y eine nichttriviale Lösung besitzt, die gegebene Randbedingungen erfüllt; die zulässigen Parameter sind die Eigenwerte und die entsprechenden Lösungen die Eigenfunktionen.

Scope

Dieses Thema behandelt die selbstadjungierte Sturm-Liouville-Form, reguläre und singuläre Probleme, die Realität und Anordnung von Eigenwerten, die Oszillation und Verschachtelung von Eigenfunktionen, die Orthogonalität bezüglich eines Gewichts und Eigenfunktionsentwicklungen, die Fourier-Reihen verallgemeinern und die klassischen orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen ergeben.

Core questions

• Was sind die Eigenwerte und Eigenfunktionen eines gegebenen Randwertproblems?
• Warum sind die Eigenwerte reell und die Eigenfunktionen orthogonal?
• Wie viele Nullstellen hat die n-te Eigenfunktion und wie sind sie verteilt?
• Wann kann eine beliebige Funktion in den Eigenfunktionen entwickelt werden?

Key theories

Spektralsatz für reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Ein reguläres selbstadjungiertes Sturm-Liouville-Problem besitzt unendlich viele reelle Eigenwerte, die gegen unendlich streben, mit Eigenfunktionen, die unter dem Gewicht orthogonal sind und eine vollständige Basis für Entwicklungen bilden.

Sturmsche Oszillations- und Vergleichssätze

Die zum n-ten Eigenwert gehörende Eigenfunktion hat genau n innere Nullstellen, und der Sturmsche Vergleichssatz stellt eine Beziehung zwischen den Nullstellen von Lösungen verwandter Gleichungen her.

Eigenfunktionsentwicklungen

Da die Eigenfunktionen ein vollständiges orthogonales System bilden, lassen sich geeignete Funktionen als Reihen in ihnen entwickeln, was Fourier-Reihen verallgemeinert und der Variablentrennung für partielle Differentialgleichungen zugrunde liegt.

Clinical relevance

Sturm-Liouville-Probleme treten immer dann auf, wenn die Methode der Variablentrennung auf die Wärme-, Wellen- und Schrödinger-Gleichungen angewendet wird, und ihre Eigenfunktionen sind die natürlichen Schwingungsmoden und Quantenzustände; die Theorie erzeugt auch die klassischen orthogonalen Polynome, die in der gesamten angewandten Mathematik verwendet werden.

History

Sturm und Liouville entwickelten die Theorie in einer Reihe von Arbeiten um 1836-1837 und etablierten das qualitative Verhalten von Eigenwerten und Eigenfunktionen für Randwertprobleme. Weyl erweiterte sie im frühen zwanzigsten Jahrhundert auf singuläre Probleme und verband sie mit der Spektraltheorie von Operatoren im Hilbertraum.

Key figures

• Jacques Charles Francois Sturm
• Joseph Liouville
• Hermann Weyl
• David Hilbert

Seminal works

• zettl2010
• courant1953

Frequently asked questions

Wie verallgemeinert die Sturm-Liouville-Theorie die Fourier-Reihen?

Die Sinus- und Kosinusfunktionen einer Fourier-Reihe sind die Eigenfunktionen des einfachsten Sturm-Liouville-Problems auf einem Intervall. Allgemeinere Koeffizienten und Gewichte erzeugen andere vollständige orthogonale Familien, wie Legendre-, Hermite- und Bessel-Funktionen, mit ihren eigenen Entwicklungen.

Warum sind die Eigenwerte garantiert reell?

In selbstadjungierter Form mit geeigneten Randbedingungen ist der Sturm-Liouville-Operator symmetrisch bezüglich des gewichteten Skalarprodukts. Symmetrische Operatoren haben reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenfunktionen, genau wie symmetrische Matrizen.