Ringhomomorphismus

Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, der Morphismus der Ringtheorie, dessen Kern ein Ideal und dessen Bild ein Unterring ist, und der durch die Isomorphiesätze bestimmt wird.

Definition

Ein Ringhomomorphismus ist eine Funktion zwischen Ringen, die Addition, Multiplikation und (konventionsgemäß) die multiplikative Identität erhält, sodass die algebraischen Operationen respektiert werden.

Scope

Dieses Thema behandelt die Definition von Ringhomomorphismen und Isomorphismen, Kerne und Bilder, die vier Isomorphiesätze für Ringe, die Charakteristik und den Primunterring sowie die universellen Eigenschaften von Quotientenringen und Auswertungsabbildungen.

Core questions

• Was bedeutet es für eine Abbildung, die Ringstruktur zu erhalten?
• Wie verhalten sich Kern und Bild eines Homomorphismus zu Idealen und Unterringen?
• Wie zerlegen die Isomorphiesätze einen Homomorphismus durch einen Quotienten?
• Wie entstehen Auswertungs- und Reduktionsabbildungen als Ringhomomorphismen?

Key theories

Erster Isomorphiesatz für Ringe

Jeder Ringhomomorphismus faktorisiert als eine Surjektion auf sein Bild, gefolgt von einer Inklusion, und sein Bild ist isomorph zum Quotienten des Definitionsbereichs durch seinen Kern, der ein Ideal ist.

Korrespondenz- und Isomorphiesätze

Das Bilden eines Quotienten nach einem Ideal stellt eine Bijektion zwischen den es enthaltenden Idealen und den Idealen des Quotienten her, und der zweite, dritte und vierte Isomorphiesatz beschreiben, wie Unterringe, Ideale und Quotienten unter Homomorphismen interagieren.

Universelle Eigenschaft von Quotienten

Ein Homomorphismus, dessen Kern ein gegebenes Ideal enthält, faktorisiert eindeutig durch den Quotienten nach diesem Ideal, sodass Quotientenringe unter homomorphen Bildern, die das Ideal annullieren, universell sind.

Clinical relevance

Ringhomomorphismen formalisieren die grundlegenden Operationen der Algebra: Die Reduktion modulo einer ganzen Zahl oder eines Polynoms, die Auswertung von Polynomen und die Inklusion eines Rings in einen größeren Ring sind alles Homomorphismen. Sie machen Ringe zu einer Kategorie und sind die Abbildungen, entlang derer Struktur und Berechnung in der Zahlentheorie und algebraischen Geometrie übertragen werden.

History

Die Homomorphie- und Isomorphiesätze wurden in den 1920er Jahren im Rahmen von Emmy Noethers Programm der strukturellen Algebra von der Gruppentheorie auf Ringe übertragen, wodurch Konstruktionen vereinheitlicht wurden, die zuvor in der Zahlentheorie und der Theorie der Gleichungen fallweise behandelt worden waren.

Key figures

• Emmy Noether
• Richard Dedekind
• Emil Artin

Seminal works

• dummit2004
• hungerford1974
• lang2002

Frequently asked questions

Warum muss der Kern eines Ringhomomorphismus ein Ideal sein?

Der Kern ist unter Addition abgeschlossen, und da die Abbildung Produkte auf Produkte abbildet und das Bild eines Kernelements Null ist, absorbiert er die Multiplikation mit jedem Ringelement. Diese Absorptionseigenschaft ist genau die Definition eines Ideals.

Was ist ein Beispiel für einen Ringhomomorphismus in der alltäglichen Algebra?

Die Reduktion von ganzen Zahlen modulo n, die Auswertung eines Polynoms an einer festen Zahl und die komplexe Konjugation sind alles Ringhomomorphismen. Jede erhält Summen und Produkte, und die Isomorphiesätze beschreiben ihre Bilder als Quotientenringe.