Freier Modul

Ein freier Modul ist ein Modul, der eine Basis zulässt, das engste Analogon eines Vektorraums in der Modultheorie und der universelle Baustein, aus dem alle Module Quotienten sind.

Definition

Ein freier Modul über einem Ring ist ein Modul, der isomorph zu einer direkten Summe von Kopien des Rings ist, äquivalent ein Modul, der eine Basis besitzt, eine linear unabhängige erzeugende Menge.

Scope

Dieses Thema behandelt die Definition eines freien Moduls, seine universelle Eigenschaft, den Rang und die Invarianz der Dimensionseigenschaft für kommutative Ringe, die Darstellung beliebiger Module als Quotienten freier Module und den verwandten Begriff der projektiven Module.

Core questions

• Was bedeutet es für einen Modul, eine Basis zu haben?
• Welche universelle Eigenschaft charakterisiert freie Module?
• Ist der Rang eines freien Moduls wohldefiniert?
• Wie entsteht jeder Modul als Quotient eines freien Moduls?

Key theories

Universelle Eigenschaft freier Module

Ein freier Modul über einer Menge ist universell unter Modulen, die eine Abbildung von dieser Menge erhalten: Jede Funktion von der Basis zu einem Modul erweitert sich eindeutig zu einem Modulhomomorphismus, wodurch freie Module zu den freien Objekten der Modultheorie werden.

Invarianz des Rangs

Über einem kommutativen Ring mit Einselement haben beliebige zwei Basen eines freien Moduls die gleiche Kardinalität, sodass der Rang eine wohldefinierte Invariante ist, die die Invarianz der Dimension für Vektorräume verallgemeinert.

Freie Präsentationen

Jeder Modul ist ein Quotient eines freien Moduls durch einen Untermodul von Relationen, was eine Präsentation durch Erzeuger und Relationen ergibt; wenn der Relationenmodul ebenfalls frei ist, handelt es sich um eine freie Auflösung, den Beginn der homologischen Algebra.

Clinical relevance

Freie Module sind das Arbeitspferd der rechnerischen und homologischen Algebra: Präsentationen und Auflösungen durch freie Module berechnen Invarianten wie Tor und Ext, und über Hauptidealringen führt das Zusammenspiel zwischen freien und Torsionsuntermodulen zum Struktursatz, der hinter kanonischen Formen und der Klassifikation abelscher Gruppen steht.

History

Der Begriff einer Basis für einen Modul verallgemeinerte die Basen von Vektorräumen und die freien abelschen Gruppen der Arithmetik des neunzehnten Jahrhunderts. Freie Module und ihre Auflösungen wurden mit dem Aufkommen der homologischen Algebra Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts zentral, wo sie messen, wie stark Module von der Eigenschaft, frei zu sein, abweichen.

Key figures

• Emmy Noether
• Heinrich Brandt
• Wolfgang Krull

Seminal works

• dummit2004
• lang2002
• atiyah1969

Frequently asked questions

Ist jeder Modul frei?

Nein. Über einem Körper ist jeder Modul frei, aber über einem allgemeinen Ring sind die meisten Module nicht frei; zum Beispiel haben die ganzen Zahlen modulo n keine Basis als Modul über den ganzen Zahlen. Freie Module sind genau diejenigen, die eine Basis zulassen.

Wie verhalten sich projektive Module zu freien Modulen?

Projektive Module sind genau die direkten Summanden freier Module, eine etwas größere Klasse. Über einigen Ringen, wie zum Beispiel Hauptidealringen, fallen endlich erzeugte projektive und freie Module zusammen, aber im Allgemeinen unterscheiden sie sich.