Optionales Stopptheorem

Das optionale Stopptheorem besagt, dass unter Bedingungen, die unbegrenztes Warten ausschließen, das Beenden eines fairen Spiels zu einem geschickt gewählten zufälligen Zeitpunkt dessen Erwartungswert nicht ändern kann.

Definition

Das optionale Stopptheorem besagt, dass für ein Martingal und eine Stoppzeit, die geeignete Integrierbarkeits- oder Beschränktheitsbedingungen erfüllen, der Erwartungswert des Martingals zum Zeitpunkt des Stoppens seinem anfänglichen Erwartungswert entspricht, sodass ein gestopptes Martingal immer noch ein Martingal ist.

Scope

Dieses Thema behandelt Stoppzeiten und den gestoppten Prozess, die Aussage des optionalen Stopptheorems und seine Hypothesen wie beschränkte Stoppzeiten, beschränkte Martingale oder gleichmäßige Integrierbarkeit, Gegenbeispiele wie die Verdopplungsstrategie, die zeigen, warum Hypothesen erforderlich sind, und Anwendungen auf das Spielerruinproblem, Trefferwahrscheinlichkeiten von Zufallspfaden und Waldsche Identitäten.

Core questions

• Was ist eine Stoppzeit und was bedeutet es, einen Prozess zu diesem Zeitpunkt zu stoppen?
• Unter welchen Bedingungen bleibt die Erwartung beim optionalen Stoppen erhalten?
• Warum scheinen einige Stoppstrategien ein faires Spiel zu schlagen, und welche Hypothese wird dabei verletzt?
• Wie liefert das Theorem Trefferwahrscheinlichkeiten und erwartete Trefferzeiten?

Key theories

Optionales Stoppen unter hinreichenden Bedingungen

Wenn eine Stoppzeit beschränkt ist oder das Martingal beschränkt ist oder die Familie der gestoppten Werte gleichmäßig integrierbar ist, dann entspricht der Erwartungswert des Martingals zum Zeitpunkt des Stoppens seinem Startwert, wodurch die Eigenschaft des fairen Spiels erhalten bleibt.

Waldsche Identitäten und Ruinprobleme

Die Anwendung des optionalen Stoppens auf das Zufallspfad-Martingal liefert Walds erste und zweite Identität, die die gestoppte Summe mit der Stoppzeit in Beziehung setzen, und ergibt explizite Spielerruinwahrscheinlichkeiten und erwartete Dauern.

Clinical relevance

Das optionale Stoppen ist der rigorose Grund, warum kein Wettsystem ein faires Spiel schlagen kann. Es ermöglicht klare Ableitungen von Ruin- und Trefferwahrscheinlichkeiten für Zufallspfade und kontrolliert in der sequenziellen Statistik den Fehler von Tests, die adaptiv mit dem Eintreffen von Daten stoppen.

History

Doob formulierte das optionale Sampling in den 1940er und 1950er Jahren und verallgemeinerte damit Walds Identitäten der sequenziellen Analyse aus den 1940er Jahren. Das Theorem mit seinen sorgfältigen Hypothesen, illustriert durch das Scheitern der Verdopplungsstrategie, wurde zu einem Eckpfeiler der angewandten Martingaltheorie und der mathematischen Finanzwissenschaft.

Key figures

• Joseph Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• doob1953

Frequently asked questions

Kann eine geschickte Stoppregel ein faires Spiel schlagen?

Nein, vorausgesetzt, die Bedingungen des optionalen Stopptheorems sind erfüllt; Strategien, die zu gewinnen scheinen, wie das Verdoppeln von Einsätzen, erfordern unbegrenztes Kapital oder eine unendliche erwartete Zeit, was die Hypothesen des Theorems verletzt.

Was ist eine Stoppzeit?

Es ist ein zufälliger Zeitpunkt, dessen Eintreten nur mit den bis zu diesem Moment verfügbaren Informationen entschieden werden kann, ohne in die Zukunft zu blicken, wie zum Beispiel der erste Zeitpunkt, zu dem ein Prozess ein bestimmtes Niveau erreicht.