Monte-Carlo-Integration

Die Monte-Carlo-Integration schätzt ein bestimmtes Integral als Durchschnitt des Integranden über zufällige Stichprobenpunkte und formuliert die Integration als Schätzung eines Erwartungswertes um.

Definition

Monte-Carlo-Integration ist die Approximation eines Integrals, indem es als Erwartungswert einer Funktion unter einer Stichprobenverteilung geschrieben und dieser Erwartungswert durch den Stichprobenmittelwert über Ziehungen aus der Verteilung geschätzt wird.

Scope

Dieses Thema behandelt die Darstellung eines Integrals als Erwartungswert, den einfachen (rohen) Monte-Carlo-Schätzer und dessen Unverzerrtheit, die Wurzel-n-Konvergenzrate und deren Dimensionsunabhängigkeit, die Fehlerschätzung durch die Stichprobenstandardabweichung sowie den Vergleich mit deterministischer Quadratur. Verfeinerungen zur Varianzreduktion werden als Erweiterungen an anderer Stelle behandelt.

Core questions

• Wie wird ein beliebiges Integral als Erwartungswert ausgedrückt, der für die Stichprobenziehung geeignet ist?
• Warum ist der rohe Monte-Carlo-Schätzer unverzerrt und konsistent?
• Was bestimmt die Wurzel-n-Fehlerrate, und warum ist sie dimensionsunabhängig?
• Wann übertrifft die Monte-Carlo-Integration die deterministische Quadratur?

Key concepts

• Roher Monte-Carlo-Schätzer
• Unverzerrtheit
• Standardfehler
• Dimensionsunabhängigkeit
• Stichprobendichte

Key theories

Integral als Erwartungswert

Das Schreiben eines Integrals als Erwartungswert des Integranden, geteilt durch eine Stichprobendichte, verwandelt die Integration in die Schätzung eines Mittelwertes, den der Stichprobenmittelwert unverzerrt schätzt.

Konvergenzrate und Fehlerschätzung

Der zentrale Grenzwertsatz liefert einen Standardfehler, der proportional zu eins geteilt durch die Quadratwurzel der Stichprobengröße ist, unabhängig von der Dimension des Integrals, und die empirische Standardabweichung der Summanden liefert eine brauchbare Fehlerschätzung.

Clinical relevance

Die Monte-Carlo-Integration berechnet Normierungskonstanten, posteriore Erwartungswerte, marginale Wahrscheinlichkeiten und hochdimensionale Erwartungswerte, die in der gesamten Statistik und den Naturwissenschaften auftreten; ihre dimensionsunabhängige Fehlerrate macht sie zur Methode der Wahl, wo gitterbasierte Quadratur undurchführbar wird.

History

Die Idee, Integrale durch Stichproben zu schätzen, geht auf die Los Alamos-Berechnungen der 1940er Jahre und die Arbeit von Metropolis und Ulam aus dem Jahr 1949 zurück; sie wurde zur Routinepraxis, als die Rechenleistung zunahm und Statistiker ihren Vorteil gegenüber der Quadratur in hohen Dimensionen erkannten.

Key figures

• Stanislaw Ulam
• Nicholas Metropolis
• Christian P. Robert

Seminal works

• robert2004
• metropolis1949

Frequently asked questions

Wie genau ist die Monte-Carlo-Integration?

Ihr Fehler schrumpft wie eins geteilt durch die Quadratwurzel der Anzahl der Stichproben, sodass eine Vervierfachung der Stichprobengröße den Fehler halbiert. Der Schätzer liefert auch eine integrierte Fehlerschätzung aus der Stichprobenstandardabweichung der Integrandenwerte.

Wann sollte ich Monte Carlo der Standardquadratur vorziehen?

Für niedrigdimensionale glatte Integrale konvergiert die deterministische Quadratur in der Regel schneller. Monte Carlo ist in hohen Dimensionen überlegen, wo die Kosten eines Gitters exponentiell wachsen, die Monte-Carlo-Fehlerrate jedoch gleich bleibt.