Inverse Transformationsmethode

Die Inverse Transformationsmethode erzeugt eine Stichprobe aus einer Zielverteilung, indem die Inverse ihrer kumulativen Verteilungsfunktion bei einer gleichmäßig verteilten Zufallszahl ausgewertet wird, wodurch eine gleichmäßige Zufallsvariable in eine exakte Stichprobe umgewandelt wird.

Definition

Die Inverse Transformationsmethode ist die Technik, bei der U gleichmäßig auf (0,1) gezogen wird und der Wert zurückgegeben wird, bei dem die kumulative Verteilungsfunktion des Ziels gleich U ist, wodurch eine exakte Stichprobe aus dieser Verteilung erzeugt wird.

Scope

Dieses Thema behandelt die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation, die die Methode rechtfertigt, ihre Anwendung auf kontinuierliche und diskrete Verteilungen, die Verwendung numerischer Inversion, wenn die inverse kumulative Verteilungsfunktion keine geschlossene Form hat, sowie die Stärken und Grenzen der Methode im Vergleich zu Akzeptanz-Ablehnungs-Verfahren und spezialisierten Algorithmen.

Core questions

• Warum führt die Anwendung der inversen kumulativen Verteilungsfunktion auf eine gleichmäßige Zufallsvariable zur Zielverteilung?
• Wie wird die Methode durch die verallgemeinerte Inverse an diskrete Verteilungen angepasst?
• Welche numerischen Techniken invertieren eine kumulative Verteilungsfunktion, die keine geschlossene Form hat?
• Wann ist die Inversion Akzeptanz-Ablehnungs-Verfahren oder verteilungsspezifischen Algorithmen vorzuziehen?

Key concepts

• Kumulative Verteilungsfunktion
• Quantilfunktion
• Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation
• Numerische Inversion
• Monotonie

Key theories

Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation

Wenn X eine stetige kumulative Verteilungsfunktion F hat, dann ist F(X) gleichmäßig auf (0,1) verteilt; umgekehrt hat die Inverse von F, angewendet auf eine gleichmäßige Zufallsvariable, die Verteilung F, was die exakte Grundlage der Inversion ist.

Verallgemeinerte Inverse für diskrete und gemischte Verteilungen

Wenn F nicht streng monoton steigend ist, erweitert die Quantilfunktion, definiert als das Infimum der Werte, deren kumulative Wahrscheinlichkeit U erreicht, die Inversion auf diskrete und gemischte Verteilungen, wodurch die Stichprobenziehung auf eine Suche durch die kumulativen Wahrscheinlichkeiten reduziert wird.

Clinical relevance

Die Inversion ist das Kernstück für die Erzeugung von Exponential-, Cauchy-, Logistik- und vielen anderen Zufallsvariablen, für die Simulation aus empirischen und angepassten Verteilungen und für die Kopplung von Simulationen an gemeinsame Zufallszahlen; da eine einzelne gleichmäßige Eingabe auf eine einzelne Ausgabe abgebildet wird, ermöglicht sie auch Varianzreduktionsschemata, die auf gemeinsamer Zufälligkeit basieren.

History

Die Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation wurde in der mathematischen Statistik des frühen 20. Jahrhunderts etabliert und entwickelte sich zu einem Standard-Simulationswerkzeug, sobald digitale Computer die Auswertung von Quantilfunktionen routinemäßig machten, wobei später der Schwerpunkt auf einer genauen numerischen Inversion für Verteilungen lag, die keine geschlossene Form für Quantile aufweisen.

Key figures

• Luc Devroye
• Christian P. Robert
• George Casella

Seminal works

• devroye1986
• robert2004

Frequently asked questions

Wann kann die Inverse Transformationsmethode nicht direkt angewendet werden?

Sie erfordert die Auswertung der inversen kumulativen Verteilungsfunktion. Für Verteilungen wie die Normalverteilung, deren Inverse keine elementare geschlossene Form hat, verwendet man genaue numerische Approximationen oder wechselt zu einer anderen Methode wie dem Akzeptanz-Ablehnungs-Verfahren.

Funktioniert die Inversion für diskrete Verteilungen?

Ja. Unter Verwendung der verallgemeinerten Inversen gibt man den kleinsten Wert zurück, dessen kumulative Wahrscheinlichkeit mindestens dem gleichmäßigen Zug entspricht, was einer Suche in der Tabelle der kumulativen Wahrscheinlichkeiten nach dem Ziel gleichkommt.