أوقات التوقف والتوقف الاختياري

وقت التوقف هو وقت عشوائي يمكن التعرف على وصوله من المعلومات المتاحة حتى الآن، وتنص نظرية التوقف الاختياري على أن اللعبة العادلة التي تتوقف عند هذا الوقت تظل عادلة، وهو مبدأ ذو نطاق واسع بشكل مدهش.

Definition

وقت التوقف هو وقت عشوائي يعتمد قرار التوقف عنده فقط على المعلومات المتاحة حتى ذلك الوقت، وتنص نظرية التوقف الاختياري على أنه، في ظل ظروف مناسبة، فإن القيمة المتوقعة للمارتينجال (martingale) المقيمة عند وقت توقف تساوي قيمتها المتوقعة الأولية.

Scope

يغطي الموضوع تعريف وقت التوقف بالنسبة للترشيح (filtration) وسيغما-جبر الأحداث المعروفة بوقت التوقف، والعملية المتوقفة، ونظريتي التوقف الاختياري وأخذ العينات الاختياري مع شروط القابلية للتكامل والتقييد التي تتطلبانها، ومتطابقات والد (Wald's identities) للمجاميع المتوقفة عند وقت عشوائي، وتطبيقاتها على إفلاس المقامر، واحتمالات الوصول، وأوقات الوصول المتوقعة.

Core questions

• ما الذي يجعل الوقت العشوائي وقت توقف، ولماذا يهم هذا التمييز؟
• تحت أي ظروف يحافظ إيقاف المارتينجال على قيمته المتوقعة؟
• لماذا يمكن أن تفشل نظرية التوقف الاختياري بدون افتراضات القابلية للتكامل أو التقييد؟
• كيف تؤدي أوقات التوقف إلى احتمالات الوصول والمدد المتوقعة؟

Key concepts

• وقت التوقف
• العملية المتوقفة
• أخذ العينات الاختياري
• متطابقات والد
• إفلاس المقامر

Key theories

نظرية التوقف الاختياري

إذا كان وقت التوقف محدودًا، أو كان المارتينجال المتوقف قابلًا للتكامل بشكل موحد، أو كان للوقت متوسط محدود مع زيادات محدودة، فإن القيمة المتوقعة للمارتينجال عند وقت التوقف تساوي قيمته الأولية، وهو المعنى الدقيق الذي لا يمكن من خلاله استغلال لعبة عادلة بقواعد إنهاء ذكية.

متطابقات والد

بالنسبة لمجموع متغيرات مستقلة وموزعة بشكل متماثل ومتوقفة عند وقت توقف ذي متوسط محدود، فإن المجموع المتوقع يساوي المتوسط مضروبًا في وقت التوقف المتوقع، وتنطبق متطابقة مماثلة على التباين، وهي نتائج تم الحصول عليها عن طريق التوقف الاختياري للمارتينجال.

Clinical relevance

التوقف الاختياري هو المحرك التحليلي لحساب احتمالات الإفلاس وأوقات اللعب المتوقعة في القمار والتأمين، ولاحتمالات الخطأ وأحجام العينات المتوقعة لاختبار نسبة الاحتمال المتسلسل لوالد (Wald's sequential probability ratio test)، ولحسابات المرور الأول في الطوابير، والموثوقية، وتسعير الخيارات المالية الأمريكية.

History

صاغ دوب (Doob) نظريات أخذ العينات الاختياري للمارتينجالات، واشتق والد (Wald)، الذي كان يعمل على التحليل المتسلسل خلال الأربعينيات، المتطابقات للمجاميع المتوقفة عشوائيًا التي وحدها وشرحها إطار المارتينجال لاحقًا.

Key figures

• Joseph L. Doob
• Abraham Wald
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

لماذا يجب أن يكون وقت التوقف قابلاً للتعرف عليه من المعلومات السابقة؟

إذا كان بالإمكان التوقف بناءً على المستقبل، لتمكن المرء من إنهاء لعبة عادلة في اللحظات المواتية تمامًا والفوز بشكل منهجي؛ إن الشرط بأن قرار التوقف يستخدم فقط المعلومات المتاحة حتى الوقت الحاضر هو بالضبط ما يحافظ على نزاهة التوقف الاختياري.

متى تفشل نظرية التوقف الاختياري؟

يمكن أن تفشل عندما يكون وقت التوقف غير محدود والمارتينجال غير قابل للتكامل بشكل موحد، كما هو الحال في المشي العشوائي البسيط غير المقيد حيث يؤدي التوقف عند الزيارة الأولى لمستوى إيجابي إلى قيمة متوقعة مختلفة عن البداية.