سلاسل ماركوف ذات الزمن المتقطع
تتحرك سلسلة ماركوف ذات الزمن المتقطع بين مجموعة معدودة من الحالات في أزمنة صحيحة، وتختار حالتها التالية من احتمالات تعتمد فقط على الحالة الحالية، وهي مشفرة بشكل مضغوط في مصفوفة انتقال.
Definition
سلسلة ماركوف ذات الزمن المتقطع هي تسلسل من الحالات العشوائية في مجموعة معدودة بحيث يعتمد احتمال الحالة التالية فقط على الحالة الحالية، مع جمع هذه الاحتمالات ذات الخطوة الواحدة في مصفوفة انتقال.
Scope
يغطي الموضوع مصفوفات الانتقال ومعادلات تشابمان-كولموغوروف، وخاصية ماركوف القوية، وتصنيف الحالات إلى فئات متواصلة وإلى حالات عابرة، ومتكررة عديمة، ومتكررة إيجابية، والدورية، واحتمالات الوصول وأوقات الوصول المتوقعة المحسوبة بتحليل الخطوة الأولى، والانقسام الثنائي للتكرار للمشي العشوائي على الشبكة الصحيحة.
Core questions
- كيف تشفر مصفوفة الانتقال ديناميكيات السلسلة على مدى عدة خطوات؟
- كيف تُصنف الحالات حسب هيكل اتصالها وتكرارها؟
- كيف تُحسب احتمالات الوصول وأوقات الوصول المتوقعة؟
- أي المشي العشوائي يعود إلى نقطة بدايته بيقين وأيها يهرب إلى اللانهاية؟
Key concepts
- مصفوفة الانتقال
- معادلات تشابمان-كولموغوروف
- الفئات المتواصلة
- التكرار والعبور
- أوقات الوصول
Key theories
- خاصية ماركوف القوية
- تستمر خاصية ماركوف في الصمود في أوقات عشوائية مناسبة تسمى أوقات التوقف، بحيث تبدأ السلسلة من جديد من حالتها في مثل هذا الوقت، وهي الأداة الرئيسية لتحليل العوائد والرحلات وأوقات الوصول.
- الانقسام الثنائي للتكرار
- كل حالة إما متكررة، تُزار عددًا لا نهائيًا من المرات باحتمال واحد، أو عابرة، تُزار عددًا محدودًا فقط من المرات؛ بالنسبة للمشي العشوائي المتماثل البسيط، يعتمد هذا على البعد، مع التكرار في بعد واحد وبعدين والعبور في ثلاثة أبعاد فأكثر.
Clinical relevance
تُستخدم سلاسل ماركوف ذات الزمن المتقطع لنمذجة ألعاب الطاولة، وأنظمة المخزون والانتظار، والتنقل عبر الويب من خلال سلسلة PageRank، والتعاقب الجيني والبيئي؛ وتجيب نظريات أوقات الوصول والتكرار الخاصة بها على أسئلة عملية حول المدة التي يستغرقها النظام للوصول إلى حالة مستهدفة أو العودة إلى حالة مرجعية.
History
قدم ماركوف هذه السلاسل في عام 1906، مطبقًا إياها على تسلسل حروف العلة والحروف الساكنة في قصيدة لبوشكين لإظهار أن قانون الأعداد الكبيرة ينطبق على المتغيرات التابعة. وقد أرسى تحليل بوليا للمشي العشوائي عام 1921 الانقسام الثنائي للتكرار المعتمد على الأبعاد والذي يحمل تأثيره.
Key figures
- Andrey Markov
- George Polya
- Joseph L. Doob
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- ما الفرق بين الحالة المتكررة والحالة العابرة؟
- الحالة المتكررة هي التي من المؤكد أن تعود إليها السلسلة، وبالتالي تزورها عددًا لا نهائيًا من المرات، بينما الحالة العابرة تُزار عددًا محدودًا فقط من المرات قبل أن تبتعد السلسلة نهائيًا.
- لماذا يكون المشي العشوائي البسيط متكررًا في الأبعاد المنخفضة وليس في الأبعاد العالية؟
- في بعد واحد وبعدين، يعود المشي إلى نقطة الأصل باحتمال واحد، ولكن من ثلاثة أبعاد فصاعدًا، هناك مساحة كافية للهروب، لذلك يعود المشي عددًا محدودًا فقط من المرات ويكون عابرًا؛ هذه هي نتيجة بوليا الكلاسيكية.