تكامل لوبيغ
يُعرّف تكامل لوبيغ تكامل دالة قابلة للقياس بتقريبها بدوال بسيطة مرجحة بمقياس، مما ينتج عنه تكامل يتفاعل بقوة مع النهايات.
Definition
يُعرّف تكامل لوبيغ تكامل دالة قابلة للقياس غير السالبة على أنه القيمة العليا لتكاملات الدوال البسيطة التي تقع أسفلها، ويمتد هذا التعريف ليشمل الدوال الموقعة والمعقدة عن طريق تكامل الأجزاء الموجبة والسالبة، مما ينتج عنه تكامل مُعرّف بالنسبة لأي مقياس.
Scope
يغطي هذا الموضوع الدوال البسيطة وتكامل الدوال القابلة للقياس غير السالبة، وتكامل الدوال العامة والمعقدة القيمة، ومبرهنة التقارب الرتيب، ومتراجحة فاتو، ومبرهنة التقارب المسيطر، والعبارات التي تتحقق في كل مكان تقريبًا، والمقارنة مع تكامل ريمان.
Core questions
- كيف يُبنى التكامل من الدوال البسيطة والمقياس؟
- تحت أي شروط يمكن نقل النهاية داخل التكامل؟
- ماذا يعني أن تتحقق خاصية ما في كل مكان تقريبًا، ولماذا هو المفهوم الصحيح؟
- كيف يرتبط تكامل لوبيغ بتكامل ريمان ويوسعه؟
Key theories
- مبرهنة التقارب الرتيب ومتراجحة فاتو
- بالنسبة للدوال القابلة للقياس غير السالبة، فإن تكامل النهاية المتزايدة هو نهاية التكاملات، وبشكل عام لا يتجاوز تكامل النهاية الدنيا (liminf) النهاية الدنيا للتكاملات، وهي الأدوات الأساسية لتمرير النهايات عبر التكاملات.
- مبرهنة التقارب المسيطر
- إذا تقاربت الدوال في كل مكان تقريبًا وكانت مقيدة في حجمها بدالة تكاملية ثابتة، فإن نهاية تكاملاتها تساوي تكامل النهاية، وهي مبرهنة التبادل الأكثر استخدامًا في التكامل.
Clinical relevance
تكامل لوبيغ هو التوقع في نظرية الاحتمالات والتكامل الأساسي لتحليل فورييه والتحليل الدالي؛ وتبرر مبرهنات التقارب الخاصة به تبادل النهايات والمجاميع والتكاملات في الاشتقاقات عبر الفيزياء والإحصاء والرياضيات التطبيقية، وتجعل فضاءات الدوال Lp كاملة.
History
عرّف لوبيغ تكامله في عام 1902، وسرعان ما أُثبتت مبرهنات التقارب بعد ذلك، حيث ظهرت متراجحة فاتو في عمله عام 1906 حول المتسلسلات، ومبرهنة التقارب الرتيب لليفي في عام 1906. وقد منحت هذه النتائج التحليل تكامله الحديث الصديق للنهايات.
Key figures
- Henri Lebesgue
- Pierre Fatou
- Beppo Levi
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- ماذا يعني في كل مكان تقريبًا؟
- تتحقق العبارة في كل مكان تقريبًا إذا كانت المجموعة التي تفشل فيها ذات مقياس صفر؛ لا يمكن لتكامل لوبيغ اكتشاف التغيرات على مثل هذه المجموعات، لذا فإن الدوال المتساوية في كل مكان تقريبًا لها نفس التكامل.
- لماذا تعتبر مبرهنات التقارب هي المكافأة الرئيسية؟
- تسمح مبرهنتا التقارب الرتيب والمسيطر بنقل النهايات داخل التكاملات تحت فرضيات معتدلة، وهذا هو بالتحديد المرونة التي يفتقر إليها تكامل ريمان والتي تعتمد عليها نظرية الاحتمالات والتحليل.