الجبر السيغمائي والمقاييس
يحدد الجبر السيغمائي المجموعات التي يمكن قياسها، ويعين المقياس لكل منها حجمًا متسقًا؛ ويشكلان معًا الفضاء القابل للقياس الذي تُبنى عليه نظرية التكامل بأكملها.
Definition
الجبر السيغمائي هو مجموعة من المجموعات الجزئية المغلقة تحت المكملات والاتحادات القابلة للعد، والمقياس هو دالة مجموعة غير سالبة وقابلة للجمع بشكل قابل للعد على جبر سيغمائي؛ ويشكل الزوج فضاء قياس يعمم الطول والمساحة والحجم والاحتمالية.
Scope
يغطي هذا الموضوع الجبر السيغمائي وجبر بوريل السيغمائي المتولد عن المجموعات المفتوحة، والدوال القابلة للقياس، وبديهيات المقياس مع خاصية الجمع القابل للعد، والمقاييس الخارجية وبناء كارادوري، وبناء مقياس ليبيغ، والاكتمال ومجموعات العدم، واستمرارية المقاييس على طول المتتاليات الرتيبة.
Core questions
- ما هي مجموعات المجموعات التي يمكن أن تدعم مفهومًا متسقًا للحجم؟
- كيف يُبنى مقياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي من مقياس خارجي؟
- ما الذي تضيفه خاصية الجمع القابل للعد ولا يمكن لخاصية الجمع المحدود أن تضيفه؟
- لماذا لا يمكن تعريف المقياس على كل مجموعة جزئية على الإطلاق؟
Key theories
- نظرية كارادوري للتمديد
- يقيد المقياس الخارجي نفسه ليصبح مقياسًا حقيقيًا قابلاً للجمع بشكل قابل للعد على الجبر السيغمائي لمجموعاته القابلة للقياس، وهو البناء الذي ينتج مقياس ليبيغ والمقاييس على الفضاءات المجردة من دوال مجموعة أبسط.
- وجود مجموعات غير قابلة للقياس
- بافتراض مسلمة الاختيار، توجد مجموعات جزئية من الخط الحقيقي لا يمكن لأي مقياس قابل للجمع بشكل قابل للعد وغير متغير تحت الإزاحة أن يعين لها حجمًا، وهذا هو السبب في الحاجة إلى جبر سيغمائي بدلاً من جميع المجموعات الجزئية.
Clinical relevance
تُعد فضاءات القياس الأساس الرسمي لنظرية الاحتمالات، حيث يرمز الجبر السيغمائي إلى الأحداث القابلة للملاحظة، ويكون المقياس هو التوزيع الاحتمالي؛ ويدعم نفس الإطار التكامل، والمعالجة الصارمة للعشوائية في الإحصاء والتمويل، وتعريف فضاءات الدوال في التحليل.
History
قدم بوريل الجبر السيغمائي للمجموعات المبنية من الفترات حوالي عام 1898، وعرف ليبيغ المقياس على الخط في عام 1902. وعممت طريقة كارادوري للمقياس الخارجي البناء ليشمل الفضاءات المجردة، وعرض مثال فيتالي عام 1905 مجموعة غير قابلة للقياس.
Key figures
- Constantin Caratheodory
- Emile Borel
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- لماذا لا نقيس كل مجموعة جزئية من الخط؟
- باستخدام مسلمة الاختيار، يمكن للمرء بناء مجموعات، مثل مجموعات فيتالي، لا يمكن تعيين حجم لها يتوافق مع عدم التغير تحت الإزاحة والجمع القابل للعد، لذا يقتصر القياس على جبر سيغمائي.
- ما هو دور خاصية الجمع القابل للعد؟
- خاصية الجمع القابل للعد، وهي أن مقياس الاتحاد المفكك القابل للعد هو مجموع المقاييس، هي ما يسمح للمقاييس بالتفاعل جيدًا مع النهايات ويجعل نظريات التقارب للتكامل ممكنة.