فضاءات هيلبرت
فضاء هيلبرت هو فضاء جداء داخلي كامل، وهو تعميم ذو أبعاد لا نهائية للهندسة الإقليدية حيث تحتفظ مفاهيم الزاوية والتعامد والإسقاط بقوتها الكاملة.
Definition
فضاء هيلبرت هو فضاء متجهي مزود بجداء داخلي يكون كاملاً في المعيار الذي يستحثه الجداء الداخلي؛ يوفر الجداء الداخلي هندسة للأطوال والزوايا تجعل الإسقاط المتعامد والتوسع المتعامد المعياري متاحين.
Scope
يغطي هذا الموضوع الجداء الداخلي والمعيار المستحث منه، ومتطابقات كوشي-شفارتز ومتوازي الأضلاع، والتعامد والمكملات المتعامدة، ومبرهنة الإسقاط على المجموعات المحدبة المغلقة، والقواعد المتعامدة المعيارية ومتطابقة بارسيفال، ومبرهنة ريز للتمثيل التي تحدد فضاء هيلبرت مع ثنائيه.
Core questions
- كيف يزود الجداء الداخلي فضاءً لا نهائي الأبعاد بالهندسة؟
- لماذا تقبل كل مجموعة محدبة مغلقة نقطة فريدة هي الأقرب، وماذا يقدم هذا الإسقاط؟
- كيف تمثل القواعد المتعامدة المعيارية كل متجه كسلسلة فورييه معممة؟
- لماذا يتم تحديد فضاء هيلبرت بشكل طبيعي مع ثنائيه الخاص؟
Key theories
- مبرهنة الإسقاط
- تحتوي كل مجموعة جزئية محدبة مغلقة غير فارغة في فضاء هيلبرت على نقطة فريدة هي الأقرب لأي متجه معطى، ويقسم الإسقاط المتعامد على فضاء جزئي مغلق الفضاء إلى الفضاء الجزئي ومكمله المتعامد.
- مبرهنة ريز للتمثيل
- كل دالة خطية محدودة على فضاء هيلبرت تُعطى بواسطة الجداء الداخلي مع متجه فريد، وبالتالي يتم تحديد الفضاء بشكل متطابق مع ثنائيه، وهو مصدر الكثير من الراحة التحليلية للفضاء.
Clinical relevance
فضاءات هيلبرت هي فضاءات الحالة في ميكانيكا الكم، حيث يعبر التوسع المتعامد المعياري والإسقاط عن القياس والتراكب؛ كما أنها تكمن وراء تقريب المربعات الصغرى، وتحليل فورييه والمويجات، ومعالجة الإشارات، وفضاءات النواة المستنسخة التي تعد أساسية في التعلم الآلي الحديث.
History
نشأ هذا الهيكل من دراسة هيلبرت للمعادلات التكاملية والأشكال التربيعية اللانهائية في أوائل القرن العشرين؛ قدم فون نيومان التعريف البديهي المجرد في عشرينيات القرن الماضي أثناء صياغة ميكانيكا الكم، مما أرسى المفهوم الحديث لفضاء هيلبرت.
Key figures
- David Hilbert
- John von Neumann
- Frigyes Riesz
Related topics
Seminal works
- conway1985
- stein2005real
Frequently asked questions
- كيف يختلف فضاء هيلبرت عن فضاء باناخ؟
- يحمل فضاء هيلبرت جداءً داخليًا يستحث معياره ويوفر الهندسة والزوايا والتعامد والإسقاط، بينما يمتلك فضاء باناخ العام معيارًا فقط؛ كل فضاء هيلبرت هو فضاء باناخ ولكن العكس ليس صحيحًا.
- ما هو الأساس المتعامد المعياري؟
- إنه مجموعة قصوى من المتجهات الوحدوية المتعامدة بشكل متبادل بحيث يكون كل عنصر من عناصر الفضاء هو مجموع إسقاطاته عليها، مما يعمم الطريقة التي توسع بها سلاسل فورييه الدوال في الجيوب وجيوب التمام.