一致最优检验

一致最优检验对所有备择假设都同时具有最优功效；此类检验存在于具有单调似然比的单侧问题中，否则则在受限类别中寻求。

Definition

如果一个检验在给定显著性水平下，在所有相同显著性水平的检验中，对备择假设中的每个分布都同时具有最大的功效，则称该检验为一致最优检验。

Scope

本主题涵盖复合假设、单调似然比性质及其所属族、单侧备择假设的一致最优检验的存在性、双侧备择假设此类检验的不存在性，以及通过限制为无偏或不变检验来恢复最优性，包括指数族中的一致最优无偏检验。

Core questions

• 什么是单调似然比性质，哪些族具有该性质？
• 为什么一致最优检验存在于单侧备择假设中，而不存在于双侧备择假设中？
• 限制为无偏检验如何恢复最优的双侧检验？
• 不变性如何简化问题，从而使一致最优检验存在？

Key theories

单调似然比和单侧检验

如果似然比在某个统计量中是单调的，那么基于该统计量大值拒绝的检验对于相应的单侧备择假设是一致最优的，这将Neyman-Pearson引理扩展到复合备择假设。

一致最优无偏检验

对于双侧备择假设，不存在一致最优检验，但在无偏检验类别中存在一个最优检验，并且在指数族中它呈现出明确的双尾形式。

Clinical relevance

试验和质量控制中使用的标准单侧z检验和t检验对于其问题而言是一致最优的，因此该理论解释了为什么这些熟悉的程序不仅是常规的，而且在控制显著性水平的检验中是最佳的。

History

在1933年Neyman-Pearson引理的基础上，Lehmann在其1959年的专著《检验统计假设》（Testing Statistical Hypotheses）中系统化了一致最优、无偏和不变检验，该书后来与Romano修订，至今仍是标准参考文献。

Key figures

• Erich L. Lehmann
• Jerzy Neyman
• Egon Pearson
• Joseph P. Romano

Seminal works

• lehmannRomano2005

Frequently asked questions

为什么双侧备择假设不存在一致最优检验？

因为针对一侧备择假设的最优检验与针对另一侧备择假设的最优检验不同，所以没有一个单一的检验能同时对两者都最优；限制为无偏检验解决了这个冲突。

单调似然比性质有什么作用？

它保证了基于单个统计量的简单单侧检验是一致最优的，因此整个单侧备择假设的最优性无需单独检查每个备择假设即可得出。