拓扑斯理论
拓扑斯是一种范畴，其行为类似于集合范畴，并支持内部逻辑，它概括了集合论和层论，为数学的范畴论基础提供了一个背景。
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Definition
初等拓扑斯是具有有限极限、指数对象和子对象分类器的范畴；它具有足够的结构来解释高阶直觉逻辑，因此它作为具有自身内部数学的广义集合宇宙发挥作用。
Scope
本主题涵盖由有限极限、指数和子对象分类器定义的初等拓扑斯，作为站点上层的范畴的格罗滕迪克拓扑斯，拓扑斯的内部高阶直觉逻辑，以及拓扑斯在提供结构性和替代性基础以及连接几何与逻辑方面的作用。
Core questions
- 什么范畴结构使一个范畴表现得像集合范畴？
- 拓扑斯如何承载内部逻辑，以及为什么它是直觉的？
- 格罗滕迪克拓扑斯如何概括层并编码几何？
- 从何种意义上说，拓扑斯可以作为数学的基础？
Key theories
- 子对象分类器和内部逻辑
- 子对象分类器通过映射到真值对象来表示子对象，这使得每个拓扑斯都具有内部高阶逻辑，这种逻辑通常是直觉的而非经典的。
- 格罗滕迪克拓扑斯
- 站点上的层范畴形成格罗滕迪克拓扑斯，它概括了拓扑空间，并提供了格罗滕迪克为代数几何中的上同调所开发的范畴框架。
- 作为基础的拓扑斯
- 满足选择原理的良基拓扑斯为结构集合论建模，因此拓扑斯理论为基于成员关系的数学基础提供了一种范畴论的替代方案。
Clinical relevance
拓扑斯理论统一了几何与逻辑：格罗滕迪克拓扑斯是现代代数几何和上同调的基础，拓扑斯的内部直觉逻辑为构造性数学建模并为类型理论提供语义，而初等拓扑斯则提供了数学基础的结构性解释。
History
格罗滕迪克及其合作者在20世纪60年代引入拓扑斯作为层的范畴，以支持概形（scheme）的上同调。劳维尔（Lawvere）和蒂尔尼（Tierney）随后在20世纪70年代早期给出了初等的、纯粹的范畴论公理化，揭示了拓扑斯的内部逻辑，并将拓扑斯理论确立为几何、逻辑和数学基础之间的桥梁。
Key figures
- Alexander Grothendieck
- F. William Lawvere
- Myles Tierney
- Peter Johnstone
Related topics
Seminal works
- maclanemoerdijk1994
- johnstone2002
- awodey2010
Frequently asked questions
- 为什么拓扑斯的内部逻辑是直觉的？
- 子对象分类器不一定满足排中律，因为一般拓扑斯中的真值格是海廷代数而非布尔代数。因此，内部验证的逻辑是直觉的，只有在特殊的拓扑斯中才能恢复经典逻辑。
- 拓扑斯如何概括集合范畴？
- 集合范畴是最简单的拓扑斯，而一般的拓扑斯保留了其关键的结构特征，即有限极限、函数空间和子集分类器，同时允许在空间或逻辑理论上进行变异。这使得人们可以在层等上下文中进行类似集合的数学运算，其中真理是局部的。