范畴、函子和自然变换
范畴、函子和自然变换是范畴论的三个基本概念，它们分别形式化了结构、结构之间的映射以及这些映射之间的映射。
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Definition
一个范畴由对象和态射组成，态射以结合律方式复合并具有单位元；一个函子将一个范畴的对象和态射映射到另一个范畴，同时保持复合和单位元；一个自然变换为每个对象分配一个态射，使其与两个函子的作用可交换。
Scope
本主题涵盖了通过对象、态射、复合和单位元来定义范畴，将函子作为范畴之间保持结构的映射，将自然变换作为函子之间的态射，以及由此产生的同构、范畴等价和米田嵌入等概念。
Core questions
- 哪些数据和公理定义了一个范畴？
- 函子如何将结构从一个范畴传递到另一个范畴？
- 自然性意味着什么？为什么它是函子之间映射的正确概念？
- 两个范畴何时是等价的而不是相等的？
Key theories
- 范畴和函子公理
- 态射的复合是结合的且有单位元的，函子保持这种复合结构，因此范畴构造在关联范畴的映射下是稳定的。
- 自然变换
- 自然变换通过一组与源范畴中所有映射兼容的态射族来关联两个函子，捕捉了构造是统一且无任意选择地定义的非正式思想。
- 米田引理和嵌入
- 从可表示函子出发的自然变换对应于元素，因此每个对象都由其态射确定，并完全忠实地嵌入到一个函子范畴中。
Clinical relevance
这三个概念是范畴数学的词汇：函子形式化了诸如形成基本群或多项式环等构造，自然性识别了规范构造，而米田视角则奠定了渗透于代数、拓扑和编程语言语义中的结构化观点。
History
艾伦伯格（Eilenberg）和麦克莱恩（Mac Lane）于1945年引入了范畴、函子和自然变换，其中自然变换是促使其他概念被精确定义的动机概念。米田引理（Yoneda lemma），归功于米田信夫（Nobuo Yoneda），很快成为表达该主题可表示性观点的基石。
Key figures
- Samuel Eilenberg
- Saunders Mac Lane
- Nobuo Yoneda
Related topics
Seminal works
- maclane1998
- awodey2010
- riehl2016
Frequently asked questions
- 自然变换的意义是什么？
- 它们精确地说明了何时一个构造是规范的，即对每个对象都以相同的方式定义，没有任意选择。经典的例子是从向量空间到其双对偶空间的自然映射，它统一存在，不像到单对偶空间的映射，后者依赖于基的选择。
- 什么是范畴的等价？
- 它是两个范畴之间的一对函子，它们的复合自然同构于恒等映射。等价的范畴共享所有范畴性质，即使它们并非字面上相同，这在范畴论中是衡量相同性的恰当概念。