张量积

两个模的张量积是双线性映射的普适接收器，它将双线性构造转换为线性构造，并实现环之间的标量变换。

Definition

在交换环上的两个模的张量积是一个模，它与一个到该模的双线性映射一起是普适的：从这对模出发的每个双线性映射都唯一地通过它分解为一个线性映射。

Scope

本主题涵盖模的张量积的构造和普适性质、其在生成元和关系上的行为、基变换和标量扩张、向量空间和代数的张量积，以及张量函子的右正合性。

Core questions

• 双线性映射如何转换为线性映射？
• 什么普适性质定义了张量积？
• 张量积如何实现环之间的标量变换？
• 张量积如何与直和及正合序列相互作用？

Key theories

张量积的普适性质

张量积是唯一的模，通过它，来自一对模的每个双线性映射都分解为一个线性映射，这在同构意义上刻画了它，并支配着它的所有性质。

标量扩张

通过环同态将一个模与一个更大的环进行张量积运算，可以扩展其标量，将一个环上的模转换为另一个环上的模，这是代数和几何中基变换的基本机制。

张量函子的右正合性

张量积保留了上核和满射，但通常不保留单射，因此它是右正合的；左正合性的失效由导出函子Tor来衡量，这奠定了同调代数的基础。

Clinical relevance

张量积无处不在：它们构造多重线性代数以及外代数和对称代数，将复合量子系统建模为状态空间的张量积，在代数几何中实现基变换，并构成了微分几何和机器学习中张量的基础。

History

张量起源于里奇（Ricci）和列维-奇维塔（Levi-Civita）在微分几何方面的工作以及格拉斯曼（Grassmann）的外代数，而模理论的张量积及其普适性质则在20世纪中叶随着同调代数的发展而被抽象化，并通过嘉当（Cartan）、艾伦伯格（Eilenberg）和麦克莱恩（Mac Lane）的工作成为标准工具。

Key figures

• Hermann Grassmann
• Élie Cartan
• Emmy Noether
• Saunders Mac Lane

Seminal works

• dummit2004
• atiyah1969
• lang2002

Frequently asked questions

张量积解决了什么问题？

它提供了一个单一的模，所有双线性映射都通过它线性分解，从而将双线性问题转化为线性问题。正是这种普适性质，而非任何显式公式，使得这种构造有用且性质良好。

为什么张量积只是右正合的？

张量积保留了满射和上核，但可能会破坏单射性，因为元素之间的关系可能会坍缩。精确的失效由Tor函子捕获，这就是为什么张量积与同调代数一起研究的原因。