线性变换
线性变换是向量空间之间的一种映射，它保留了加法和标量乘法，是线性代数中的一种态射，一旦选择了基，就可以用矩阵表示。
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Definition
在同一域上的向量空间之间的线性变换是一个函数，它尊重向量加法和标量乘法，因此线性组合的像就是像的相应线性组合。
Scope
本主题涵盖线性映射及其核与像、秩-零化度定理、相对于基的线性映射矩阵、基变换、复合与可逆性，以及抽象线性映射与矩阵之间的对应关系。
Core questions
- 映射是线性的意味着什么？
- 核和像如何衡量单射性和满射性？
- 线性变换如何用矩阵表示，以及该矩阵如何随基的变化而变化？
- 线性变换何时可逆？
Key theories
- 秩-零化度定理
- 对于有限维空间之间的线性映射，定义域的维度等于像的维度加上核的维度，这关联了单射性、满射性和线性系统的可解性。
- 矩阵表示和基变换
- 选择基可以将线性映射表示为矩阵，复合对应于矩阵乘法，基变换会使矩阵共轭，因此相似矩阵在不同坐标系中表示相同的算子。
- 与矩阵的同构
- 有限维空间之间的线性映射空间与矩阵空间同构，使得抽象和具体观点可以互换，并将线性代数简化为矩阵计算。
Clinical relevance
线性变换在几何和图形学中模拟旋转、投影和缩放，在量子力学中模拟可观测值和时间演化，以及神经网络内部的线性映射层。秩-零化度定理控制着应用中遇到的每个线性系统的可解性。
History
19世纪中叶，凯莱（Cayley）和西尔维斯特（Sylvester）的矩阵演算为线性映射提供了具体的表示，而格拉斯曼（Grassmann）和皮亚诺（Peano）则提供了向量空间之间线性映射的抽象、无坐标视图，这构成了现代理论的基础。
Key figures
- Arthur Cayley
- James Joseph Sylvester
- Hermann Grassmann
- Giuseppe Peano
Related topics
Seminal works
- hoffman1971
- roman2008
- lang2002
Frequently asked questions
- 为什么同一个线性映射可以用不同的矩阵表示？
- 矩阵取决于定义域和陪域的基选择。改变基会使矩阵共轭，因此单个线性算子对应于一个完整的矩阵相似类，这就是为什么规范形很有用。
- 秩-零化度定理告诉我们什么？
- 它表明核的维度和像的维度之和等于定义域的维度。这立即决定了线性系统何时有解以及其解集的规模，以及映射何时是单射或满射的。