伊辛模型和晶格系统

晶格上相互作用自旋的伊辛模型是相变的典型微观模型，在低维度下可精确求解，是协同行为的典范。

Definition

伊辛模型是一种晶格模型，其中每个格点带有一个取两个值之一的自旋，并与其相邻格点相互作用，是表现出向有序态热力学相变的最简单微观模型。

Scope

本主题涵盖伊辛模型及其在晶格上的推广、平均场近似及其预测、一维中不存在相变、昂萨格在二维中的精确解、传递矩阵方法，以及这些模型作为表现出自发磁化和临界点的最简单微观系统的应用。相关模型，如波茨模型和海森堡模型，被视为其扩展。

Core questions

• 伊辛模型中的最近邻耦合如何产生自发磁化？
• 为什么一维伊辛模型没有有限温度相变？
• 昂萨格的精确二维解揭示了临界行为的哪些信息？
• 平均场理论如何近似伊辛模型，以及它在哪里失效？

Key concepts

• 自旋和最近邻耦合
• 自发磁化和有序
• 平均场近似
• 传递矩阵方法
• 昂萨格的精确二维解

Key theories

昂萨格的二维伊辛模型精确解

昂萨格精确求解了零场二维伊辛模型，证明了存在一个真正的相变，其比热呈对数发散，并提供了与平均场预测不同的临界指数。

Clinical relevance

除了磁性，伊辛模型还可映射到晶格气体、二元合金、神经网络和优化问题，使其成为协同现象的多功能试验台，以及蒙特卡罗模拟等计算方法的基准。

History

该模型由伦茨提出，并于1925年由伊辛在一维中求解。长期以来，人们认为该模型过于简单，无法显示相变，直到派尔斯提出异议，以及昂萨格在1944年给出的精确二维解证明它具有真正的临界点。

Key figures

• Ernst Ising
• Wilhelm Lenz
• Lars Onsager

Seminal works

• onsager1944
• stanley1971

Frequently asked questions

如果伊辛模型如此理想化，为什么它仍然如此重要？

它的简单性使其在分析和计算上都易于处理，同时仍能捕捉协同有序的本质，因此它成为检验普适性、平均场理论和重整化群等概念的参考系统。