逆变换采样

逆变换采样通过在均匀随机数处评估其累积分布函数的逆函数，从目标分布中生成一个样本，将均匀变量转换为精确样本。

Definition

逆变换采样是一种技术，即在(0,1)区间内均匀抽取U，并返回目标累积分布函数等于U时的值，从而从该分布中产生一个精确样本。

Scope

本主题涵盖了证明该方法合理性的概率积分变换、其在连续和离散分布中的应用、当逆累积分布函数缺乏封闭形式时数值求逆的使用，以及该方法相对于接受-拒绝采样和专用算法的优点和局限性。

Core questions

• 为什么将逆累积分布函数应用于均匀变量会产生目标分布？
• 该方法如何通过广义逆函数适应离散分布？
• 当累积分布函数没有封闭形式时，有哪些数值技术可以对其进行求逆？
• 何时逆变换采样优于接受-拒绝采样或特定于分布的算法？

Key concepts

• 累积分布函数
• 分位数函数
• 概率积分变换
• 数值求逆
• 单调性

Key theories

概率积分变换

如果X具有连续累积分布函数F，则F(X)在(0,1)上是均匀分布的；反之，将F的逆函数应用于均匀变量，其分布为F，这是逆变换的精确基础。

离散和混合分布的广义逆函数

当F不是严格递增时，定义为累积概率达到U的最小值的分位数函数将逆变换扩展到离散和混合分布，将采样简化为对累积概率的搜索。

Clinical relevance

逆变换是生成指数分布、柯西分布、逻辑分布和许多其他变量的核心方法，用于从经验分布和拟合分布中进行模拟，以及将模拟与共同随机数耦合；因为单个均匀输入映射到单个输出，它还支持基于共享随机性的方差缩减方案。

History

概率积分变换在20世纪初的数理统计学中确立，一旦数字计算机使分位数函数的评估变得常规化，它就成为一种标准的模拟工具，后来重点关注缺乏封闭形式分位数的分布的精确数值求逆。

Key figures

• Luc Devroye
• Christian P. Robert
• George Casella

Seminal works

• devroye1986
• robert2004

Frequently asked questions

何时不能直接使用逆变换采样？

它需要评估逆累积分布函数。对于正态分布等没有初等封闭形式逆函数的分布，可以使用精确的数值近似或切换到其他方法，如接受-拒绝采样。

逆变换采样适用于离散分布吗？

是的。使用广义逆函数，返回累积概率至少为均匀抽样值的最小值，这相当于在累积概率表中搜索目标。