每个随机变量都有密度吗？

不是；只有分布是绝对连续的随机变量才具有密度。离散变量将质量置于单个点上，而较罕见的奇异连续分布即使没有原子也没有密度。

为什么分布函数定义为小于或等于而不是严格小于？

小于或等于的约定使分布函数右连续，这是将其与底层概率测度及其原子干净对应起来的自然选择。

随机变量是从概率空间到实数线的一个可测映射，其分布函数（即变量不超过给定水平的概率）是描述其值如何分布的通用方法。

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随机变量是从概率空间到实数集的一个可测函数，其分布函数将每个实数映射到该变量取值小于或等于该实数的概率。

本主题涵盖实值和向量值随机变量的可测性、累积分布函数及其单调性、右连续性和极限的定义性质、分布函数与实数线上概率测度之间的对应关系、密度以及勒贝格分解为离散、绝对连续和奇异部分，以及随机向量与其边缘分布的联合分布。

分布函数对应关系: 实数线上的每个概率测度都对应一个唯一的非递减、右连续且极限为零和一的分布函数，反之亦然，从而提供了对一维分布的完整而具体的描述。
分布的勒贝格分解: 实数线上的任何分布都可以唯一地分解为支持在原子上的离散部分、具有密度的绝对连续部分和奇异连续部分，这阐明了概率密度何时存在以及何时不存在。

分布函数是经验数据所估计的，也是统计模型所假设的；经验分布函数是拟合优度检验和自助法的基础，从分布函数导出的分位数定义了风险价值和参考范围，而密度是大多数基于似然的推断中拟合的对象。

随机变量仅仅是一个可测函数，其行为由分布函数捕获的认识，是随着20世纪初概率的测度论重新表述而出现的，取代了早期对特定分布的逐个案例处理。