傅里叶变换（应用）

作为一种积分变换，傅里叶变换将函数分解为其组成频率，并将微积分运算转换为代数运算，使其成为应用数学中一种重要的工具。

Definition

傅里叶变换将一个函数映射到一个频域函数，该频域函数通过与复指数的积分来定义；在应用中，它将卷积转换为乘法，将微分转换为与频率的乘法，因此问题在变换域中解决，然后进行逆变换。

Scope

本主题将傅里叶变换视为一种变换方法：其定义和逆变换、平移、缩放和微分的运算规则、卷积定理和帕塞瓦尔-普朗歇尔定理、离散傅里叶变换和快速傅里叶变换，以及其在求解微分方程和分析信号与系统中的应用。它补充了对同一变换的调和分析处理。

Core questions

• 该变换如何将微分或卷积问题简化为代数问题？
• 哪些运算规则控制着平移、缩放和微分？
• 如何从采样数据中高效计算变换？
• 在应用中如何读取和操作频率内容？

Key theories

运算规则和微分性质

微分变为与频率的乘法，平移变为一个相位因子，因此线性微分方程和滤波器在频域中变为代数关系。

卷积定理

卷积的变换是变换的乘积，这是线性系统分析、滤波和格林函数解法的基础。

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

采样导致离散傅里叶变换，快速傅里叶变换算法以n log n次运算计算，从而实现了实用的数字频率分析。

Clinical relevance

应用的傅里叶方法推动了信号和图像处理、电信、音频和语音分析、光学和晶体学、光谱学以及偏微分方程的谱方法，使该变换成为科学和工程领域应用最广泛的工具之一。

History

傅里叶在1822年的热理论中引入了频率分解。通过运算微积分，该变换成为一种实用的工程工具，并通过1965年库利-图基快速傅里叶变换的决定性发展，使数字频谱分析变得无处不在。

Key figures

• Joseph Fourier
• Ronald Bracewell
• James Cooley
• John Tukey

Seminal works

• folland1992
• bracewell2000

Frequently asked questions

这与调和分析中的傅里叶变换有何不同？

它们是同一个数学对象，只是视角不同：调和分析的处理强调其基础理论和函数空间，而这个应用数学主题则强调变换作为解决方程和分析信号的方法，包括离散和快速变体。

为什么卷积定理在应用中如此有用？

许多物理系统通过卷积作用于输入，这直接计算起来很麻烦。在频域中，卷积变为简单的乘法，因此滤波和系统响应通过变换、乘法和逆变换来计算，通常使用快速傅里叶变换。