卷积

卷积将两个函数组合成第三个函数，表达其中一个函数的形状如何被另一个函数修改，这是线性系统和积分变换的核心运算。

Definition

两个函数的卷积是其中一个函数与另一个函数的反射和平移副本的乘积在所有平移量上的积分；它衡量了当一个函数在另一个函数上滑动时，两者之间的重叠程度。

Scope

本主题涵盖了卷积积分及其离散模拟的定义、代数性质（如交换律、结合律和分配律）、将其与积分变换下的乘法联系起来的卷积定理、作为狄拉克函数（delta function）的单位元的作用、通过磨光函数（mollifier）进行的平滑处理，以及它在线性时不变系统响应中的体现。

Core questions

• 对两个函数进行卷积计算的是什么？
• 该运算具有哪些代数性质？
• 卷积定理如何将其与积分变换联系起来？
• 为什么卷积是线性时不变系统的自然模型？

Key theories

卷积定理

在傅里叶变换或拉普拉斯变换下，卷积对应于普通的乘法，这就是为什么变换将基于卷积的问题简化为代数问题。

线性时不变系统

任何线性时不变系统都通过与其脉冲响应的卷积来作用于其输入，因此脉冲响应完全表征了系统的行为。

近似单位元和平滑

将一个函数与一个集中的、可积的核函数进行卷积会使其平滑，并且随着核函数变得尖锐，结果会趋近于原始函数，这是磨光（mollification）和正则化（regularization）的基础。

Clinical relevance

卷积在信号和图像处理中模拟滤波和模糊，通过脉冲响应模拟物理系统的响应，通过独立随机变量和的分布模拟概率，以及作为现代神经网络核心的卷积层。

History

卷积积分出现在18世纪和19世纪关于叠加原理的研究以及沃尔泰拉（Volterra）的积分方程中。其核心作用在20世纪随着运算微积分和线性系统系统理论的发展而明确，卷积定理使其变得不可或缺。

Key figures

• Joseph Fourier
• Vito Volterra
• Norbert Wiener
• Ronald Bracewell

Seminal works

• folland1992
• bracewell2000

Frequently asked questions

卷积的直观理解是什么？

想象一下将一个函数在另一个函数上滑动，在每个位置，将它们逐点相乘并累加结果。输出衡量了两个函数作为平移量的函数有多少重叠，这就是它捕捉平滑和系统响应的原因。

为什么卷积在变换后会变成乘法？

积分变换将函数表示为指数函数的组合，卷积独立地作用于每个指数分量，通过对其进行缩放。由于变换分离了这些分量，因此组合效应在变换域中是简单的逐点乘法。