正态分布

正态分布，也称为高斯分布或钟形曲线，是一种连续分布，其关于均值对称，并完全由其均值和标准差描述。它是生物统计学中最重要的分布，因为许多测量值都近似于它，并且样本均值倾向于它，使其成为大多数标准推断的基础。

Definition

正态分布是一种连续概率分布，具有对称的钟形密度，完全由两个参数决定：其均值（中心）和标准差（离散程度）。

Scope

本条目涵盖了正态分布的形状和参数、将标准差与覆盖范围相关联的经验法则、标准正态分布和z分数、参考范围，以及个体正态分布与样本均值正态分布之间的区别。它是一个方法学参考，不提供针对个体患者的临床阈值。

Core questions

• 正态分布具有什么形状，由什么决定？
• 分布中有多少比例落在给定数量的标准差之内？
• 什么是z分数，标准化是如何进行的？
• 何时适合假设正态性？

Key concepts

• 均值和标准差
• 对称性和钟形
• 经验（68-95-99.7）法则
• 标准正态分布
• z分数和标准化
• 参考范围
• 偏度和偏离正态性

Mechanisms

正态分布由两个数字确定：均值，它确定了分布的中心；以及标准差，它设定了分布的宽度。大约68%的值落在均值的一个标准差之内，大约95%落在两个标准差之内，大约99.7%落在三个标准差之内——这个经验法则赋予了该分布实际的有用性。任何正态变量都可以通过减去均值并除以标准差进行标准化，从而得到遵循标准正态分布（均值为0，标准差为1）的z分数，这使得一套表格或公式可以适用于所有正态分布。在医学研究中，血液值等测量的参考范围通常由假定正态分布的中间95%构建，并且许多统计检验都假设数据或统计量的抽样分布近似正态。

Clinical relevance

许多生物学测量值在近似正态的假设下进行汇总和比较，并且参考范围也经常由此构建，因此理解该分布有助于解释实验室和研究结果。本条目将该分布描述为方法学，不设定个体的诊断临界值。

History

钟形曲线在十八世纪从棣莫弗对二项分布的近似中出现，并由拉普拉斯和高斯发展，后者将其用于测量误差分析，因此它常被称为高斯分布。在十九世纪和二十世纪，它成为测量生物量值的默认模型和经典统计推断的基石。

Debates

何时假设正态性会产生误导？

许多生物变量是偏斜而非对称的，将其视为正态可能会扭曲参考范围和检验；是转换数据、使用非参数方法，还是依赖均值的中心极限定理，这是一个反复出现的方法学判断。

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Pierre-Simon Laplace
• Abraham de Moivre

Seminal works

• altman-bland-1995-normal
• rosner-2015

Frequently asked questions

什么是68-95-99.7法则？

对于正态分布，大约68%的值落在均值的一个标准差之内，大约95%落在两个标准差之内，大约99.7%落在三个标准差之内；这个经验法则将标准差与覆盖值的比例直接联系起来。

数据必须是正态分布才能在推断中使用正态分布吗？

不总是如此；许多方法依赖于均值的抽样分布根据中心极限定理近似正态，即使个体测量值不是正态分布，只要样本量足够大，这也可以成立。