Trường p-adic và Trường cục bộ

Trường p-adic được xây dựng bằng cách hoàn thiện các số hữu tỉ đối với giá trị tuyệt đối p-adic; vành các số nguyên p-adic, trường thặng dư và phần tử đồng nhất (uniformizer) của nó làm cho nó trở thành ví dụ mẫu mực của một trường cục bộ, môi trường tự nhiên của số học tại một số nguyên tố duy nhất.

Definition

Giá trị tuyệt đối p-adic của một số hữu tỉ được xác định bởi lũy thừa của p chia hết nó. Trường các số p-adic là phần hoàn thiện của các số hữu tỉ dưới giá trị tuyệt đối này; một trường cục bộ là một trường hoàn chỉnh đối với một định giá rời rạc và có một trường thặng dư hữu hạn.

Scope

Chủ đề này bao gồm định giá p-adic và giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức siêu mêtric, phân loại của Ostrowski về các giá trị tuyệt đối trên các số hữu tỉ, việc xây dựng các số p-adic và vành các số nguyên p-adic, i-đê-an tối đại, trường thặng dư và phần tử đồng nhất, mô tả các phần tử bằng khai triển chữ số p-adic, bổ đề Hensel để nâng nghiệm, và khái niệm chung về một trường cục bộ như một trường định giá rời rạc hoàn chỉnh với trường thặng dư hữu hạn.

Core questions

• Giá trị tuyệt đối p-adic được định nghĩa như thế nào, và tại sao nó thỏa mãn bất đẳng thức siêu mêtric mạnh?
• Tại sao định lý Ostrowski nói rằng đây về cơ bản là những giá trị tuyệt đối duy nhất trên các số hữu tỉ ngoài giá trị thông thường?
• Các số nguyên p-adic là gì, và làm thế nào các khai triển chữ số và trường thặng dư mô tả cấu trúc của chúng?
• Bổ đề Hensel nâng các nghiệm từ trường thặng dư lên trường cục bộ đầy đủ như thế nào?

Key theories

Định lý Ostrowski và các phần hoàn thiện

Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên các số hữu tỉ đều tương đương với giá trị thông thường hoặc với giá trị p-adic; việc hoàn thiện dưới mỗi giá trị này cho ra các số thực hoặc một trường p-adic, thể hiện tất cả các vị trí của các số hữu tỉ.

Cấu trúc của các số nguyên p-adic

Các số nguyên p-adic tạo thành một vành cục bộ compact với i-đê-an tối đại được sinh bởi p và trường thặng dư là các số nguyên modulo p; mọi số p-adic đều có một khai triển cơ số p duy nhất có thể vô hạn về bên phải.

Bổ đề Hensel

Một nghiệm đơn của một đa thức modulo p nâng duy nhất thành một nghiệm trong các số nguyên p-adic; điều này làm cho trường cục bộ hoạt động như một phần mở rộng thuận tiện về mặt đại số của trường thặng dư.

Clinical relevance

Các trường cục bộ là bối cảnh cho lý thuyết trường lớp cục bộ và cho các thành phần cục bộ của các biểu diễn tự đẳng cấu trong chương trình Langlands; nâng Hensel cũng là một công cụ thuật toán trong phân tích nhân tử đa thức và trong tính toán nhanh theo modulo các lũy thừa của số nguyên tố.

History

Hensel đã giới thiệu các số p-adic vào năm 1897 để đưa các kỹ thuật chuỗi lũy thừa vào lý thuyết số, và đã chứng minh bổ đề nâng mang tên ông. Ostrowski đã phân loại các giá trị tuyệt đối trên các số hữu tỉ vào năm 1916, làm rõ rằng các phần hoàn thiện thực và p-adic bao gồm tất cả các khả năng và đặt nền tảng cho quan điểm cục bộ.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

Phần tử đồng nhất (uniformizer) là gì?

Nó là một phần tử sinh của i-đê-an tối đại của vành định giá của một trường cục bộ; đối với các số p-adic, số nguyên tố p đóng vai trò là một phần tử đồng nhất, và mọi phần tử khác không là một đơn vị nhân với một lũy thừa của nó.

Tại sao các số nguyên p-adic là compact?

Chúng là một giới hạn nghịch đảo của các vành hữu hạn các số nguyên modulo các lũy thừa của p, điều này làm cho chúng trở thành một tập hợp đóng và bị chặn trong mêtric p-adic và do đó là compact, không giống như các số nguyên thông thường.