Lý thuyết phân nhánh và Galois của trường số

Khi một số nguyên tố của một trường số được xem xét trong một trường lớn hơn, nó có thể tách thành nhiều số nguyên tố, giữ nguyên là số nguyên tố, hoặc phân nhánh; lý thuyết Galois sắp xếp tất cả các hành vi này thông qua các nhóm phân rã và phần tử Frobenius.

Definition

Phân nhánh mô tả cách một i-đê-an nguyên tố của một trường cơ sở phân tích trong một mở rộng và liệu các thừa số nguyên tố lặp lại có xuất hiện hay không; lý thuyết Galois của các trường số mã hóa điều này thông qua các nhóm con của nhóm Galois gắn liền với mỗi số nguyên tố phía trên nó.

Scope

Chủ đề này bao gồm sự phân tích một số nguyên tố hữu tỷ trong một mở rộng thành các i-đê-an nguyên tố với các chỉ số phân nhánh và bậc thặng dư của chúng, đồng nhất thức cơ bản liên hệ chúng với bậc, các số nguyên tố phân nhánh và không phân nhánh, các nhóm phân rã và quán tính trong một mở rộng Galois, tự đẳng cấu Frobenius, vi phân và mối quan hệ giữa biệt thức và sự phân nhánh, và ký hiệu Artin dự đoán tính đối ứng.

Core questions

• Một số nguyên tố hữu tỷ phân tích như thế nào trong vành các số nguyên của một mở rộng, và chỉ số phân nhánh và bậc thặng dư là gì?
• Tại sao các bất biến này thỏa mãn đồng nhất thức cơ bản có tổng bằng bậc, và nó đơn giản hóa như thế nào đối với các mở rộng Galois?
• Các nhóm phân rã và quán tính là gì, và phần tử Frobenius tác động như thế nào lên các trường thặng dư?
• Những số nguyên tố nào phân nhánh, và vi phân cùng biệt thức phát hiện chúng như thế nào?

Key theories

Đồng nhất thức cơ bản và các kiểu tách

Một số nguyên tố phân tích trong một mở rộng với các chỉ số phân nhánh và bậc thặng dư mà tổng có trọng số của chúng bằng bậc trường; trong một mở rộng Galois, tất cả các thừa số có cùng chỉ số và bậc, phân loại hành vi tách, bất động và phân nhánh.

Nhóm phân rã, nhóm quán tính và Frobenius

Đối với một số nguyên tố nằm trên một số nguyên tố đã cho trong một mở rộng Galois, nhóm phân rã là bộ ổn định của nó, nhóm quán tính là phần phân nhánh của nó, và thương được tạo ra bởi phần tử Frobenius hoạt động như một ánh xạ lũy thừa trên trường thặng dư.

Vi phân, biệt thức và phân nhánh

I-đê-an vi phân và biệt thức xác định chính xác các số nguyên tố phân nhánh, với công thức dẫn tử-biệt thức biểu thị biệt thức của một mở rộng Abel thông qua các dẫn tử của các ký tự của nó.

Clinical relevance

Hành vi tách của các số nguyên tố thông qua phần tử Frobenius chi phối các định luật đối ứng và là trọng tâm tính toán của các thuật toán phân tích đa thức và i-đê-an trên các trường số, bao gồm các bước bên trong sàng trường số.

History

Dedekind đã liên hệ sự phân tích các số nguyên tố với sự phân tích của đa thức tối thiểu theo mô-đun số nguyên tố đó. Hilbert đã hệ thống hóa lý thuyết phân nhánh trong tác phẩm Zahlbericht năm 1897 của ông, giới thiệu các nhóm phân rã và quán tính cùng với bộ lọc phân nhánh bậc cao hơn để tổ chức chủ đề hiện đại.

Key figures

• Richard Dedekind
• David Hilbert
• Ferdinand Georg Frobenius

Seminal works

• marcus2018

Frequently asked questions

Số nguyên tố phân nhánh nghĩa là gì?

Một số nguyên tố phân nhánh trong một mở rộng khi sự phân tích của nó thành các i-đê-an nguyên tố ở đó bao gồm một thừa số lặp lại; chỉ có hữu hạn số nguyên tố phân nhánh, và chúng chính xác là những số chia hết biệt thức.

Phần tử Frobenius là gì?

Đối với một số nguyên tố không phân nhánh trong một mở rộng Galois, nó là tự đẳng cấu chính tắc tạo ra ánh xạ lũy thừa bậc p trên trường thặng dư; lớp liên hợp của nó ghi lại cách số nguyên tố tách và là chìa khóa cho các định luật đối ứng.