Lý thuyết số đại số
Lý thuyết số đại số mở rộng số học của các số nguyên sang các vành số nguyên đại số bên trong các mở rộng hữu hạn của số hữu tỉ, nơi mà sự phân tích duy nhất có thể không còn đúng nhưng được khôi phục ở cấp độ i-đê-an.
Definition
Lý thuyết số đại số là nghiên cứu về các trường số (các mở rộng hữu hạn của các số hữu tỉ) và các vành số nguyên của chúng, sử dụng các công cụ của đại số giao hoán và lý thuyết Galois để hiểu về sự phân tích, các đơn vị và các mở rộng trường một cách số học.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm các trường số và vành số nguyên của chúng, sự phân tích các i-đê-an thành các i-đê-an nguyên tố, nhóm lớp i-đê-an đo lường sự thất bại của phân tích duy nhất, định lý đơn vị Dirichlet, sự phân nhánh và hành vi của các số nguyên tố trong các mở rộng, lý thuyết Galois của các trường số, và lý thuyết trường lớp mô tả các mở rộng Abel theo dữ liệu số học.
Sub-topics
Core questions
- Điều gì thay thế sự phân tích duy nhất trong một vành số nguyên đại số, và làm thế nào các i-đê-an nguyên tố khôi phục nó?
- Mức độ thất bại của sự phân tích duy nhất, được đo bằng nhóm lớp i-đê-an, lớn đến mức nào, và liệu nó có luôn hữu hạn không?
- Các đơn vị của một vành số nguyên hoạt động như thế nào, và hạng của chúng là bao nhiêu?
- Các số nguyên tố hữu tỉ phân tách, phân nhánh, hay giữ nguyên trạng thái trong một mở rộng như thế nào, và lý thuyết Galois chi phối điều này ra sao?
Key theories
- Phân tích duy nhất của các i-đê-an
- Trong một miền Dedekind như vành số nguyên của một trường số, mọi i-đê-an khác không đều phân tích duy nhất thành các i-đê-an nguyên tố, khôi phục vai trò cấu trúc của định lý cơ bản của số học.
- Tính hữu hạn của số lớp và định lý đơn vị Dirichlet
- Nhóm lớp i-đê-an là hữu hạn và nhóm đơn vị được sinh hữu hạn với hạng được xác định bởi số lượng các nhúng thực và phức, hai nền tảng được thiết lập bởi hình học số kiểu Minkowski.
- Lý thuyết trường lớp
- Các mở rộng Abel của một trường số được phân loại bởi các thương của các nhóm lớp i-đê-an tổng quát, tổng quát hóa đối ứng bậc hai thành luật đối ứng của ánh xạ Artin.
Clinical relevance
Các vành số nguyên và số học i-đê-an cung cấp xương sống đại số cho mật mã học hiện đại, bao gồm các lược đồ dựa trên lưới và lưới i-đê-an được xem xét cho an ninh hậu lượng tử, và là nền tảng của sàng trường số, thuật toán phân tích tổng quát nhanh nhất được biết đến.
History
Lĩnh vực này phát triển từ sự giới thiệu các số i-đê-an của Kummer vào khoảng năm 1847 để khắc phục sự phân tích duy nhất trong các trường cyclotomic, được thúc đẩy bởi Định lý cuối cùng của Fermat. Dedekind đã định hình lại chúng thành các i-đê-an vào những năm 1870, Minkowski bổ sung các phương pháp hình học, và Hilbert, Takagi, cùng Artin đã xây dựng lý thuyết trường lớp vào đầu thế kỷ XX.
Key figures
- Ernst Kummer
- Richard Dedekind
- Leopold Kronecker
- Emil Artin
Related topics
Seminal works
- neukirch1999
Frequently asked questions
- Tại sao sự phân tích duy nhất không phải lúc nào cũng đúng đối với các số nguyên đại số?
- Trong nhiều vành số nguyên, một phần tử có thể phân tích thành các phần tử bất khả quy theo những cách thực sự khác nhau; cách khắc phục là phân tích các i-đê-an thay vì các phần tử, nơi tính duy nhất luôn được khôi phục.
- Số lớp là gì?
- Đó là cấp của nhóm lớp i-đê-an, một số hữu hạn đo lường chính xác mức độ một vành số nguyên khác biệt so với việc có phân tích duy nhất; nó bằng một chính xác khi sự phân tích là duy nhất.