Số p-adic
Các số p-adic tạo thành một phép hoàn thiện thay thế của các số hữu tỉ, mỗi số cho một số nguyên tố p, trong đó sự gần nhau được đo bằng tính chia hết hơn là kích thước; chúng cục bộ hóa lý thuyết số và tiết lộ số học mà các số thực che giấu.
Definition
Đối với một số nguyên tố p, các số p-adic là phép hoàn thiện của các số hữu tỉ đối với giá trị tuyệt đối p-adic, trong đó một số nhỏ khi nó chia hết cho một lũy thừa cao của p; chúng tạo thành một trường là một trường cục bộ nguyên mẫu.
Scope
Lĩnh vực này bao gồm giá trị tuyệt đối p-adic và việc xây dựng các số p-adic như một phép hoàn thiện của các số hữu tỉ, cấu trúc của các trường p-adic và các trường cục bộ tổng quát hơn, giải tích p-adic bao gồm sự hội tụ, hàm mũ và logarit p-adic, bổ đề Hensel, và nguyên lý cục bộ-toàn cục mà theo đó việc giải một phương trình trên các số hữu tỉ được nghiên cứu thông qua tất cả các phép hoàn thiện thực và p-adic của nó.
Sub-topics
Core questions
- Giá trị tuyệt đối p-adic định nghĩa lại khoảng cách như thế nào, và việc hoàn thiện các số hữu tỉ tạo ra trường p-adic như thế nào?
- Cấu trúc đại số và tô pô của các trường p-adic và của các trường cục bộ tổng quát là gì?
- Giải tích hoạt động p-adically như thế nào, và bổ đề Hensel cho phép chúng ta giải quyết điều gì?
- Nguyên lý cục bộ-toàn cục liên hệ khả năng giải được trên các số hữu tỉ với khả năng giải được trên các số thực và tất cả các trường p-adic như thế nào?
Key theories
- Hoàn thiện p-adic và định lý Ostrowski
- Định lý Ostrowski phân loại tất cả các giá trị tuyệt đối trên các số hữu tỉ là giá trị thông thường và các giá trị p-adic; việc hoàn thiện đối với mỗi giá trị tạo ra các số thực và các trường p-adic, các trường cục bộ có đặc trưng không.
- Bổ đề Hensel
- Một đa thức có một nghiệm đơn modulo p có một nghiệm p-adic duy nhất rút gọn về nó, do đó việc giải các phương trình p-adically rút gọn thành việc giải chúng modulo p và nâng lên, một phương pháp Newton p-adic.
- Nguyên lý cục bộ-toàn cục (Hasse)
- Đối với nhiều phương trình, đặc biệt là các dạng toàn phương, khả năng giải được trên các số hữu tỉ tương đương với khả năng giải được trên các số thực và trên mọi trường p-adic, tập trung các vấn đề toàn cục thành các vấn đề cục bộ.
Clinical relevance
Các trường cục bộ và các phương pháp p-adic là không thể thiếu trong hình học số học hiện đại và chương trình Langlands; các hàm L p-adic và các biểu diễn Galois cũng cung cấp thông tin cho các giả thuyết (như Birch-Swinnerton-Dyer) mà nghiên cứu tính toán của chúng hỗ trợ mật mã đường cong elliptic.
History
Hensel đã giới thiệu các số p-adic vào khoảng năm 1897 bằng cách tương tự với chuỗi lũy thừa trong các trường hàm. Hasse đã phát triển nguyên lý cục bộ-toàn cục vào những năm 1920, và quan điểm p-adic trở nên trung tâm thông qua công trình của Tate, Iwasawa và những người khác về các trường cục bộ, các hàm L p-adic và hình học số học.
Key figures
- Kurt Hensel
- Helmut Hasse
- Jean-Pierre Serre
Related topics
Seminal works
- serre1973
- koblitz1984
Frequently asked questions
- Theo nghĩa nào thì hai số gần nhau p-adically?
- Hai số nguyên gần nhau p-adically khi hiệu của chúng chia hết cho một lũy thừa cao của số nguyên tố p; ví dụ, các lũy thừa lớn của p gần với không p-adically, ngược lại với trực giác thông thường.
- Tại sao lại phải giới thiệu các số p-adic?
- Chúng cục bộ hóa số học tại một số nguyên tố duy nhất, làm cho nhiều vấn đề trở nên dễ giải quyết: các phương trình có thể được nghiên cứu từng số nguyên tố một, và nguyên lý cục bộ-toàn cục tập hợp các nghiệm cục bộ này thành các kết luận toàn cục.