Định lý Bloch và các dải năng lượng

Định lý Bloch phát biểu rằng hàm sóng của một electron trong mạng tinh thể tuần hoàn là một sóng phẳng nhân với một hàm tuần hoàn theo mạng tinh thể, điều này ngay lập tức sắp xếp các năng lượng cho phép thành các dải.

Definition

Định lý Bloch khẳng định rằng các trạng thái riêng năng lượng của một electron trong thế năng tuần hoàn có dạng sóng phẳng được điều biến bởi một hàm có tính tuần hoàn của mạng tinh thể; các giá trị riêng, là một hàm của động lượng tinh thể, tạo thành các dải năng lượng liên tục được phân tách bởi các khe hở bị cấm.

Scope

Chủ đề này chứng minh và giải thích định lý Bloch: thế năng tuần hoàn buộc các trạng thái riêng phải là sóng Bloch được gắn nhãn bởi động lượng tinh thể và chỉ số dải, phổ tách thành các dải năng lượng được phân tách bởi các khe hở, và các dải có thể được hiển thị trong các sơ đồ vùng mở rộng, rút gọn hoặc lặp lại. Nó bao gồm ý nghĩa của động lượng tinh thể, vận tốc nhóm của các electron Bloch, và số lượng trạng thái trên mỗi dải. Đây là nền tảng để xây dựng các xấp xỉ mô hình và các chủ đề về bề mặt Fermi.

Core questions

• Tại sao tính tuần hoàn của mạng tinh thể buộc các hàm sóng điện tử phải có dạng Bloch?
• Động lượng tinh thể là gì, và nó khác với động lượng thông thường như thế nào?
• Chỉ số dải cùng với động lượng tinh thể gán nhãn cho mọi trạng thái điện tử như thế nào?
• Tại sao số trạng thái trong một dải lại chính xác bằng số ô nguyên thủy trong tinh thể?

Key concepts

• Hàm sóng Bloch và phần tuần hoàn theo mạng tinh thể
• Động lượng tinh thể và chỉ số dải
• Các dải năng lượng và khe hở dải
• Các sơ đồ vùng mở rộng, rút gọn và lặp lại
• Vận tốc nhóm của một electron Bloch

Key theories

Định lý Bloch

Đối với một electron đơn lẻ trong thế năng tuần hoàn, các trạng thái riêng là tích của một sóng phẳng và một hàm tuần hoàn, do đó mỗi trạng thái được lập chỉ mục bởi một động lượng tinh thể trong vùng Brillouin và một chỉ số dải rời rạc, tạo ra một phổ có cấu trúc dải.

Clinical relevance

Định lý Bloch là nền tảng của vật lý chất rắn: nó giải thích tại sao các electron di chuyển theo quỹ đạo qua một tinh thể hoàn hảo, định nghĩa cấu trúc dải được sử dụng để phân loại chất dẫn điện và chất cách điện, và là cơ sở cho hầu hết mọi tính toán cấu trúc điện tử.

History

Felix Bloch đã chứng minh định lý này trong luận án tiến sĩ năm 1928 của mình (được xuất bản năm 1929), dưới sự hướng dẫn của Heisenberg, giải quyết lý do tại sao các electron không bị tán xạ mạnh bởi mạng lưới ion dày đặc; kết quả này tổng quát hóa lý thuyết một chiều trước đó của Floquet về các phương trình vi phân tuần hoàn.

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

Động lượng tinh thể có tuân theo định luật bảo toàn động lượng thông thường không?

Động lượng tinh thể chỉ được bảo toàn đến một vectơ mạng đảo, vì mạng tinh thể có thể hấp thụ động lượng với lượng tử hóa; nó gán nhãn cho các trạng thái Bloch và chi phối các quy tắc chọn lọc nhưng không phải là động lượng cơ học thực sự của electron.

Tại sao định lý Bloch ngụ ý các dải thay vì một liên tục?

Đối với mỗi động lượng tinh thể, bài toán Schrödinger tuần hoàn có một thang rời rạc các nghiệm được lập chỉ mục theo số dải; việc cho động lượng thay đổi trên toàn vùng sẽ quét mỗi mức thành một dải liên tục, với các khoảng năng lượng ở giữa mà không trạng thái nào chiếm giữ, đó là các khe hở.