Newton-Cotes Kuadratürü
Newton-Cotes kuralları, bir integrali, eşit aralıklı noktalarda integrandı enterpole eden polinomu entegre ederek yaklaştırır; bu da yamuk ve Simpson kuralları gibi bilinen formülleri ortaya çıkarır.
Tanım
Bir Newton-Cotes kuadratür kuralı, düğümleri integrasyon aralığı boyunca eşit aralıklı olan ve ağırlıkları karşılık gelen enterpolasyon polinomunun entegre edilmesiyle elde edilen bir enterpolasyonel kuadratür kuralıdır.
Kapsam
Bu konu, kapalı ve açık Newton-Cotes formüllerini, bunların kesinlik derecelerini ve hata terimlerini, aralığın alt bölümlere ayrılmasıyla elde edilen birleşik yamuk ve Simpson kurallarını, Richardson ekstrapolasyonu yoluyla Romberg integrasyonunu ve yüksek dereceli Newton-Cotes kurallarının pratik derecelerini sınırlayan kararsızlıklarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Yamuk ve Simpson kuralları entegre enterpolantlar olarak nasıl türetilir?
- Bu kuralların hata terimleri nelerdir ve Simpson kuralı neden simetriden fazladan bir derece kazanır?
- Birleşik kurallar ve Romberg ekstrapolasyonu doğruluğu sistematik olarak nasıl artırır?
- Yüksek dereceli Newton-Cotes kuralları neden kararsız hale gelir ve kullanımlarını ne sınırlar?
Temel kuramlar
- Kesinlik derecesi ve hata terimleri
- Yamuk kuralı, ikinci türeve orantılı hatayla doğrusal integrandlar için kesindir; Simpson kuralı ise simetri sayesinde, dördüncü türeve orantılı hatayla kübik fonksiyonlar için kesindir ve enterpolasyon derecesinin ötesinde bir derece kazanır.
- Birleşik kurallar ve Romberg integrasyonu
- Birçok alt aralıkta temel bir kuralın uygulanması, hatası adım boyutunda polinom olarak azalan bir birleşik kural verir; birleşik yamuk kuralının Richardson ekstrapolasyonu, hızlı yakınsayan Romberg şemasını üretir.
Mekanizmalar
Her temel kural, eşit aralıklı enterpolantı tam olarak entegre eder: yamuk kuralı bir doğru çizgi uyumunu, Simpson kuralı ise bir parabolü entegre eder. Birleşik kurallar, aralığı böler ve her parçadaki temel kuralları toplar, böylece adım boyutunu yarıya indirmek hatayı öngörülebilir şekilde azaltır. Romberg integrasyonu, ardışık olarak yarıya indirilen adım boyutlarında birleşik yamuk tahminlerini tablolaştırır ve önde gelen hata terimlerini iptal ederek düzgün integrandlar için yüksek dereceli doğruluk elde etmek amacıyla tekrarlanan Richardson ekstrapolasyonu uygular. Yüksek dereceli tek aralıklı Newton-Cotes kuralları, Runge fenomenini yansıtan, iptale ve kararsızlığa neden olan, karışık işaretli büyük salınımlı ağırlıklar edinir.
Klinik önem
Newton-Cotes kuralları, özellikle birleşik yamuk ve Simpson formları, integrand örnekleri doğal olarak eşit aralıklı olduğunda (örneğin, tablolaştırılmış deneysel veriler, zaman serisi entegrasyonu ve basit simülasyon sonrası işleme) varsayılan düşük maliyetli kuadratür araçlarıdır ve Romberg integrasyonu, düzgün fonksiyonlar için minimal kodlama ile doğru sonuçlar sağlamaktadır.
Tarihçe
Bu kurallar, on sekizinci yüzyılın başlarında Newton ve Cotes ile adını taşıyan kuralıyla Thomas Simpson'dan kaynaklanmaktadır; Werner Romberg'in 1955'teki ekstrapolasyon şeması, temel yamuk kuralını yüksek doğruluklu bir yönteme dönüştürmüş ve standart bir öğretim ve hesaplama aracı olarak kalmıştır.
Öne çıkan isimler
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Thomas Simpson
- Werner Romberg
İlgili konular
Temel eserler
- davis1984
- quarteroni2007
Sıkça sorulan sorular
- Simpson kuralı neden yamuk kuralından daha doğrudur?
- Simpson kuralı, iki noktadan geçen bir doğru yerine üç noktadan geçen bir parabol uydurur ve simetri nedeniyle kübik polinomları tam olarak entegre eder, bu nedenle hatası dördüncü türeve bağlıdır ve adım boyutu azaldıkça çok daha hızlı küçülür.
- Neden sadece çok yüksek dereceli bir Newton-Cotes kuralı kullanmıyoruz?
- Eşit aralıklı düğümlerdeki yüksek dereceli Newton-Cotes kuralları, değişen işaretlere sahip büyük ağırlıklar geliştirerek sayısal iptale ve kararsızlığa neden olur. Pratikte bunun yerine birleşik düşük dereceli kurallar, Romberg ekstrapolasyonu veya Gauss kuadratürü kullanılmaktadır.