Gauss Kuadratürü
Gauss kuadratürü, bir kuadratür kuralının hem düğüm noktalarını hem de ağırlıklarını, polinom hassasiyet derecesini maksimize etmek üzere seçerek, 2n-1 dereceli polinomları sadece n fonksiyon değerlendirmesiyle tam olarak entegre etmektedir.
Tanım
Gauss kuadratürü, belirli bir düğüm noktası sayısı için mümkün olan en yüksek hassasiyet derecesini elde etmek amacıyla, düğüm noktaları bir ağırlık fonksiyonuyla ilişkili ortogonal polinomların kökleri olan ve ağırlıklarıyla birlikte seçilen bir kuadratür kuralları ailesidir.
Kapsam
Bu konu, ortogonal polinomların köklerinden Gauss kurallarının inşasını, Gauss-Legendre kuralını ve ağırlıklı varyantlarını (Gauss-Chebyshev, Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre), düğüm noktalarını ve ağırlıkları hesaplamak için kullanılan Golub-Welsch özdeğer algoritmasını ve pratik hata tahmini için kullanılan Gauss-Kronrod uzantılarını kapsamaktadır.
Temel sorular
- Ortogonal polinomların köklerine düğüm noktaları yerleştirmek, sabit düğüm noktalı kurallara kıyasla hassasiyet derecesini nasıl iki katına çıkarmaktadır?
- Belirli bir ağırlık fonksiyonu için düğüm noktaları ve ağırlıklar nasıl doğru bir şekilde hesaplanmaktadır?
- Ağırlıklı Gauss kuralları, tekil veya sonsuz-tanım kümesi ağırlık fonksiyonlarına sahip integralleri nasıl ele almaktadır?
- Güvenilir hata tahminleri, örneğin Gauss-Kronrod çiftleri aracılığıyla nasıl elde edilmektedir?
Temel kuramlar
- Maksimal hassasiyet derecesi
- n-noktalı bir kuadratür kuralı, 2n-1 derecesine kadar olan polinomlar için tam olabilir ve bu maksimum, düğüm noktaları ağırlık fonksiyonu için n-dereceli ortogonal polinomun kökleri olduğunda, tüm ağırlıklar pozitif olmak üzere tam olarak elde edilmektedir.
- Golub-Welsch algoritması
- Bir Gauss kuralının düğüm noktaları ve ağırlıkları, ortogonal polinomların özyineleme katsayılarından oluşturulan simetrik üç köşegenli Jacobi matrisinin özdeğerleri ve karesi alınmış ilk özvektör bileşenleri olarak elde edilmekte, bu da kuadratür yapımını bir özdeğer hesaplamasına dönüştürmektedir.
Mekanizmalar
Ortogonal polinomlar, katsayıları simetrik üç köşegenli Jacobi matrisini oluşturan üç terimli bir özyinelemeyi sağlamaktadır; Golub-Welsch algoritması, onun özdeğerlerini (kuadratür düğüm noktaları) hesaplamakta ve ağırlıkları kararlı bir şekilde geri elde etmek için özvektörlerin ilk bileşenlerini kullanmaktadır. Ağırlık fonksiyonunu — yerleşik tekilliklere sahip veya yarı doğru ya da tüm doğru üzerinde desteklenen bir fonksiyona — değiştirmek, zor davranışları analitik olarak absorbe eden Gauss-Chebyshev, Gauss-Laguerre veya Gauss-Hermite kuralları üretmektedir. Gauss-Kronrod kuralları, Gauss düğüm noktalarını yeniden kullanmakta ve araya giren düğüm noktaları ekleyerek, daha yüksek dereceli bir tahmin ve dolayısıyla bir hata tahmini, mütevazı ek maliyetle elde edilmesini sağlamaktadır.
Klinik önem
Gauss kuadratürü, sonlu eleman analizinde eleman ve rijitlik integrallerini değerlendirmek, istatistik ve belirsizlik nicelemesinde olasılık ağırlık fonksiyonlarına karşı momentleri ve beklentileri hesaplamak ve pahalı integrant değerlendirmelerinin sayısını en aza indirmenin çok önemli olduğu fizik ve mühendislik genelinde düzgün integrallerin yüksek doğrulukta değerlendirilmesi için yaygın olarak kullanılmaktadır.
Tarihçe
Gauss, optimal kuadratürünü 1814'te türetmiştir; Jacobi, onu ortogonal polinomlara bağlamıştır ve modern hesaplama yaklaşımı, düğüm noktalarını ve ağırlıkları rutin olarak hesaplanabilir hale getiren ve Gauss kurallarını standart sayısal kütüphanelere dahil eden 1969 Golub-Welsch algoritmasıyla kurulmuştur.
Öne çıkan isimler
- Carl Friedrich Gauss
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Gene H. Golub
- Walter Gautschi
İlgili konular
Temel eserler
- davis1984
- gautschi2004
Sıkça sorulan sorular
- n nokta, 2n-1 dereceli bir polinomu tam olarak nasıl entegre edebilir?
- Hem n düğüm noktası hem de n ağırlık serbest parametre olduğu için, 2n temel polinomun (0'dan 2n-1'e kadar dereceler) integrallerini eşleştirmeye yeterli 2n serbestlik derecesi bulunmaktadır. Düğüm noktalarını ortogonal polinom köklerine yerleştirmek tam olarak bunu sağlamaktadır.
- Bir Gauss kuralının doğruluğu pratikte nasıl kontrol edilmektedir?
- Yaygın bir yaklaşım, bir Gauss kuralını ek düğüm noktalarıyla artırarak daha yüksek dereceli bir tahmin üreten Gauss-Kronrod çiftidir; iki tahmin arasındaki fark, adaptif integratörler tarafından kullanılan pratik bir hata tahmini olarak hizmet etmektedir.